2020-2021/Complementaire/DM/2105_DM1/tpl_stylos.tex

\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
    %- set pA = round(random(), 2)
    %- set pB = round(1 - pA, 2)
    %- set pD_A = round(random(), 2)
    %- set pD_B = round(random(), 2)
    %- set pDB = round(pB*pD_B, 2)
    %- set pDA = round(pA*pD_A, 2)
    %- set pD = round(pDA + pDB, 2)
    \emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}

    \bigskip

    \begin{minipage}{0.6\linewidth}
        \textbf{Partie A}

        \medskip

        Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.

        L'atelier A fabrique \Var{pA*100 | round(2)}\,\% des stylos, et parmi ceux-là, \Var{pD_A*100 | round(2)}\,\% possèdent un défaut de fabrication.

        De plus, \Var{pDB*100 | round(2)}\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.

        Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.

        On considère les évènements suivants:

        \begin{itemize}
            \item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
            \item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
            \item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
        \end{itemize}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{0.4\linewidth}
            \begin{center}
                \begin{tikzpicture}[sloped]
                    \node {.} 
                    child {node {$A$}
                        child {node {$D$} 
                            edge from parent
                            node[above] {...}
                        }
                        child {node {$\overline{D}$}
                            edge from parent
                            node[above] {...}
                        } 
                        edge from parent
                        node[above] {...}
                    }
                    child[missing] {}
                    child { node {$B$}
                        child {node {$D$}
                            edge from parent
                            node[above] {...}
                        }
                        child {node {$\overline{D}$}
                            edge from parent
                            node[above] {...}
                        } 
                        edge from parent
                        node[above] {...}
                    } ;
                \end{tikzpicture}
            \end{center}
    \end{minipage}

    \medskip

    \begin{enumerate}
        \item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
        \item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.

        \item  
            \begin{enumerate}
                \item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
                \item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $\Var{pD}$.
            \end{enumerate}
        \item  On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
    \end{enumerate}

    \bigskip

    \textbf{Partie B}
    %- set nbr = randint(10, 20)
    %- set k = randint(int(nbr/2), nbr)

    \medskip

    Dans cette partie, on suppose que \Var{pD*100 | round(2)}\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.

    L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.

    Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.

    On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.

    On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.

    \medskip

    \begin{enumerate}
        \setcounter{enumi}{4}
        \item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
        \item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = \Var{k})$.
        \item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
        \item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
    \end{enumerate}
    \pagebreak
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{center}
                \begin{tikzpicture}[sloped]
                    \node {.} 
                    child {node {$A$}
                        child {node {$D$} 
                            edge from parent
                            node[above] {\Var{pD_A}}
                        }
                        child {node {$\overline{D}$}
                            edge from parent
                            node[above] {\Var{round(1-pD_A, 2)}}
                        } 
                        edge from parent
                        node[above] {\Var{pA}}
                    }
                    child[missing] {}
                    child { node {$B$}
                        child {node {$D$}
                            edge from parent
                            node[above] {\Var{pD_B}}
                        }
                        child {node {$\overline{D}$}
                            edge from parent
                            node[above] {\Var{round(1-pD_B, 2)}}
                        } 
                        edge from parent
                        node[above] {\Var{pB}}
                    } ;
                \end{tikzpicture}
            \end{center}
        \item
            \begin{itemize}
                \item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
                    \[
                        P(A) = \Var{pA}
                    \]
                \item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
                    \[
                        P(B) = \Var{pB}
                    \]
                \item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
                    \[
                        P_A(D) = \Var{pD_A}
                    \]
                \item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
                    \[
                        P(D \cap D) = \Var{pDB}
                    \]
            \end{itemize}
        \item 
            \begin{enumerate}
                \item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
                    \[
                        P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = \Var{pA} \times \Var{pD_A} = \Var{pDA}
                    \]
                \item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
                    \[
                        P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = \Var{pDA} + \Var{pDB} = \Var{pD}
                    \]
            \end{enumerate}
        \item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
            \[
                P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{\Var{pDA}}{\Var{pD}} = \Var{round(pDA/pD, 2)}
            \]
        \item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=\Var{nbr}$ et $p=\Var{pD}$.
        \item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
            \[
                P(X = \Var{k}) = \coefBino{\Var{nbr}}{\Var{k}}\times \Var{pD}^{\Var{k}} \times \Var{round(1 - pD, 2)}^{\Var{nbr-k}}
            \]
        \item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}

            Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
            \[
                P(X = 0) = \coefBino{\Var{nbr}}{0}\times \Var{pD}^{0} \times \Var{round(1 - pD, 2)}^{\Var{nbr}}
            \]
            Puis comparer ce nombre à 0,5.
        \item Il faut calculer l'espérance
            \[
                E[X] = n\times p = \Var{nbr} \times \Var{pD} = \Var{round(nbr*pD, 2)}
            \]
    \end{enumerate}
\end{solution}