Bertrand Benjamin
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TeX
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TeX
\documentclass[a5paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\usepackage{tasks}
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% Title Page
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\title{DM2 \hfill BOUCHOUX Kevin}
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\tribe{TST}
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\date{\hfillÀ render pour le Mercredi 24 février}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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\begin{document}
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\maketitle
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\begin{exercise}[subtitle={Loi binomiale}]
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Trois personnes s'apprêtent à passer le portique de sécurité. On suppose que pour chaque personne la probabilité que le portique sonne est égale à $0.7$.
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Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes faisant sonner le portique, parmi les 3 personnes de ce groupe.
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\begin{enumerate}
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\item Tracer l'arbre représentant le situation.
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\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
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\item Quelle est la probabilité qu'une seule personne fasse sonner le portique?
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\item Calculer puis interpréter les probabilités suivantes
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\[
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P(X = 0) \qquad \qquad P(X \geq 2)
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\]
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\item Calculer l'espérance de $X$ et interpréter le résultat.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{tikzpicture}[sloped]
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\node {.}
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child {node {$0$}
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child {node {$0$}
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child {node {$0$}
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edge from parent
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node[above] {0.3}
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}
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child {node {$1$}
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edge from parent
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node[above] {0.7}
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}
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edge from parent
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node[above] {0.3}
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}
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child[missing] {}
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child {node {$1$}
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child {node {$0$}
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edge from parent
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node[above] {0.3}
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}
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child {node {$1$}
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edge from parent
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node[above] {0.7}
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}
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edge from parent
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node[above] {0.3}
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}
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edge from parent
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node[above] {0.3}
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|
}
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child[missing] {}
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child[missing] {}
|
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child[missing] {}
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child { node {$1$}
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child {node {$0$}
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child {node {$0$}
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edge from parent
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node[above] {0.3}
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|
}
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child {node {$1$}
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|
edge from parent
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node[above] {0.7}
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|
}
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edge from parent
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|
node[above] {0.3}
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|
}
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child[missing] {}
|
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child {node {$1$}
|
|
child {node {$0$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.3}
|
|
}
|
|
child {node {$1$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.7}
|
|
}
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|
edge from parent
|
|
node[above] {0.3}
|
|
}
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|
edge from parent
|
|
node[above] {0.7}
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} ;
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\end{tikzpicture}
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\item Chaque personne a 2 possibilités (1: fait sonner ou 2: ne fait pas sonner) et l'on fait passer 3 personnes ce qui correspond à une répétition identique et aléatoire. On peut donc modéliser la situation par une loi binomiale.
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\[
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X \sim \mathcal{B}(3; 0.76)
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\]
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\item Probabilité qu'une seule personne fasse sonner le portique. On voit qu'il y a 3 branches qui correspondent à cette situation dont
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\[
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P(X = 1) = 3 \times 0.7^1 \times 0.3^2 \approx 0.189
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\]
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\item
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\[
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P(X = 0) = 0.3^3 \approx 0.027
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\]
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\[
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|
P(X \geq 2) = P(X = 2) + P(X = 3) = 3 \times 0.7^2 \times 0.3^1 + 0.7^3 \approx 0.784
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\]
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\item Il faut d'abord tracer le tableau résumant la loi de probabilité:
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|c|*{4}{c|}}
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\hline
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Valeur & 0 & 1 & 2 & 3 \\
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\hline
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Probabilité & $0.027$ & $0.189$ & $0.441$ &$0.343$ \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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On peut alors calculer l'espérance
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\[
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E[X] = 0 \times 0.027 + 1 \times 0.189 + 2 \times 0.441 + 3 \times 0.343 = 2.1
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\]
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On peut donc estimer qu'il y aura en moyenne $2.1$ personnes qui feront sonner le portique sur les 3 personnes.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Équation puissance}]
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Résoudre les équations et inéquations suivantes
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $10^x = 4$
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\item $7^x = 14$
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\item $0.44^x \leq 29$
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\item $6 \times 0.27^x = 10$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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Les solutions ci-dessous ne sont pas justifiée car l'ordinateur ne sait pas faire. Par contre, vous vous devez savoir justifier vos réponses!
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\begin{enumerate}
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\item $x = \log(4)$
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\item $x = \frac{\log(14)}{\log(7)}$
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\item Il faut faire attention quand on divise par un log car ce dernier peut être négatif ce qui est le cas ici. Il faut donc pense à changer le sens de l'inégalité.
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$x \geq \frac{\log(29)}{\log(0.44)}$
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\item Il faut penser à faire la division à par $6$ avant d'utiliser le log car sinon, on ne peut pas utiliser la formule $\log(a^n) = n\times \log(a)$.
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$x = \frac{\log(1.67)}{\log(0.27)}$
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
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Soit $f(x) = 10x^3 - 840x^2 + 18450x - 1$ une fonction définie sur $\R$.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer $f'(x)$ la dérivée de $f(x)$.
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\item Calculer $f'(41)$ et $f'(15)$.
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\item En déduire une forme factorisée de $f'(x)$.
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\item Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire les variations de $f(x)$.
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\item Est-ce que la fonction $f(x)$ admet un maximum ou un minimum? Si oui, calculer sa valeur.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item Dérivée de $f(x)$: $f'(x) = 30x^2 - 1680x + 18450$
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\item
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\begin{align*}
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f'(41) &= 30 \times 41^{2} - 1680 \times 41 + 18450\\&= 30 \times 1681 - 68880 + 18450\\&= 50430 - 50430\\&= 0
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\end{align*}
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\begin{align*}
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f'(15) &= 30 \times 15^{2} - 1680 \times 15 + 18450\\&= 30 \times 225 - 25200 + 18450\\&= 6750 - 6750\\&= 0
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\end{align*}
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Donc $x = 41$ et $x=15$ sont des racines de $f'(x) = 30x^2 - 1680x + 18450$.
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\item On en déduit la forme factorisée suivante
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\[
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f'(x) = 30 (x - 41)(x-15)
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\]
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\item Pas de correction disponible
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\item À causes des branches extérieurs, la fonction $f(x)$ n'a pas de maximum ou de minimum.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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%\printsolutionstype{exercise}
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\end{document}
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