204 lines
7.5 KiB
TeX
204 lines
7.5 KiB
TeX
\documentclass[a5paper,10pt]{article}
|
|
\usepackage{myXsim}
|
|
\usepackage{tasks}
|
|
|
|
% Title Page
|
|
\title{DM2 \hfill CAGLAR Rojin}
|
|
\tribe{TST}
|
|
\date{\hfillÀ render pour le Mercredi 24 février}
|
|
|
|
\xsimsetup{
|
|
solution/print = true
|
|
}
|
|
|
|
\begin{document}
|
|
\maketitle
|
|
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Loi binomiale}]
|
|
Trois personnes s'apprêtent à passer le portique de sécurité. On suppose que pour chaque personne la probabilité que le portique sonne est égale à $0.86$.
|
|
|
|
Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes faisant sonner le portique, parmi les 3 personnes de ce groupe.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Tracer l'arbre représentant le situation.
|
|
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
|
|
\item Quelle est la probabilité qu'une seule personne fasse sonner le portique?
|
|
\item Calculer puis interpréter les probabilités suivantes
|
|
\[
|
|
P(X = 0) \qquad \qquad P(X \geq 2)
|
|
\]
|
|
\item Calculer l'espérance de $X$ et interpréter le résultat.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{solution}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item
|
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
|
\node {.}
|
|
child {node {$0$}
|
|
child {node {$0$}
|
|
child {node {$0$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.14}
|
|
}
|
|
child {node {$1$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.86}
|
|
}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.14}
|
|
}
|
|
child[missing] {}
|
|
child {node {$1$}
|
|
child {node {$0$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.14}
|
|
}
|
|
child {node {$1$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.86}
|
|
}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.14}
|
|
}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.14}
|
|
}
|
|
child[missing] {}
|
|
child[missing] {}
|
|
child[missing] {}
|
|
child { node {$1$}
|
|
child {node {$0$}
|
|
child {node {$0$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.14}
|
|
}
|
|
child {node {$1$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.86}
|
|
}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.14}
|
|
}
|
|
child[missing] {}
|
|
child {node {$1$}
|
|
child {node {$0$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.14}
|
|
}
|
|
child {node {$1$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.86}
|
|
}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.14}
|
|
}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.86}
|
|
} ;
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\item Chaque personne a 2 possibilités (1: fait sonner ou 2: ne fait pas sonner) et l'on fait passer 3 personnes ce qui correspond à une répétition identique et aléatoire. On peut donc modéliser la situation par une loi binomiale.
|
|
\[
|
|
X \sim \mathcal{B}(3; 0.76)
|
|
\]
|
|
\item Probabilité qu'une seule personne fasse sonner le portique. On voit qu'il y a 3 branches qui correspondent à cette situation dont
|
|
\[
|
|
P(X = 1) = 3 \times 0.86^1 \times 0.14^2 \approx 0.051
|
|
\]
|
|
\item
|
|
\[
|
|
P(X = 0) = 0.14^3 \approx 0.003
|
|
\]
|
|
\[
|
|
P(X \geq 2) = P(X = 2) + P(X = 3) = 3 \times 0.86^2 \times 0.14^1 + 0.86^3 \approx 0.947
|
|
\]
|
|
|
|
\item Il faut d'abord tracer le tableau résumant la loi de probabilité:
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tabular}{|c|*{4}{c|}}
|
|
\hline
|
|
Valeur & 0 & 1 & 2 & 3 \\
|
|
\hline
|
|
Probabilité & $0.003$ & $0.051$ & $0.311$ &$0.636$ \\
|
|
\hline
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{center}
|
|
On peut alors calculer l'espérance
|
|
\[
|
|
E[X] = 0 \times 0.003 + 1 \times 0.051 + 2 \times 0.311 + 3 \times 0.636 = 2.58
|
|
\]
|
|
On peut donc estimer qu'il y aura en moyenne $2.58$ personnes qui feront sonner le portique sur les 3 personnes.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Équation puissance}]
|
|
Résoudre les équations et inéquations suivantes
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $10^x = 14$
|
|
\item $2^x = 38$
|
|
\item $0.15^x \leq 40$
|
|
\item $9 \times 0.56^x = 29$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{multicols}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{solution}
|
|
Les solutions ci-dessous ne sont pas justifiée car l'ordinateur ne sait pas faire. Par contre, vous vous devez savoir justifier vos réponses!
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $x = \log(14)$
|
|
\item $x = \frac{\log(38)}{\log(2)}$
|
|
\item Il faut faire attention quand on divise par un log car ce dernier peut être négatif ce qui est le cas ici. Il faut donc pense à changer le sens de l'inégalité.
|
|
|
|
$x \geq \frac{\log(40)}{\log(0.15)}$
|
|
|
|
\item Il faut penser à faire la division à par $9$ avant d'utiliser le log car sinon, on ne peut pas utiliser la formule $\log(a^n) = n\times \log(a)$.
|
|
|
|
$x = \frac{\log(3.22)}{\log(0.56)}$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
|
Soit $f(x) = - x^3 + 67.5x^2 - 258x - 11$ une fonction définie sur $\R$.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Calculer $f'(x)$ la dérivée de $f(x)$.
|
|
\item Calculer $f'(43)$ et $f'(2)$.
|
|
\item En déduire une forme factorisée de $f'(x)$.
|
|
\item Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire les variations de $f(x)$.
|
|
\item Est-ce que la fonction $f(x)$ admet un maximum ou un minimum? Si oui, calculer sa valeur.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{solution}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Dérivée de $f(x)$: $f'(x) = - 3x^2 + 135x - 258$
|
|
\item
|
|
\begin{align*}
|
|
f'(43) &= - 3 \times 43^{2} + 135 \times 43 - 258\\&= - 3 \times 1849 + 5805 - 258\\&= - 5547 + 5547\\&= 0
|
|
\end{align*}
|
|
\begin{align*}
|
|
f'(2) &= - 3 \times 2^{2} + 135 \times 2 - 258\\&= - 3 \times 4 + 270 - 258\\&= - 12 + 12\\&= 0
|
|
\end{align*}
|
|
Donc $x = 43$ et $x=2$ sont des racines de $f'(x) = - 3x^2 + 135x - 258$.
|
|
\item On en déduit la forme factorisée suivante
|
|
\[
|
|
f'(x) = -3 (x - 43)(x-2)
|
|
\]
|
|
\item Pas de correction disponible
|
|
\item À causes des branches extérieurs, la fonction $f(x)$ n'a pas de maximum ou de minimum.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
|
|
|
|
%\printsolutionstype{exercise}
|
|
|
|
|
|
|
|
\end{document}
|
|
|
|
%%% Local Variables:
|
|
%%% mode: latex
|
|
%%% TeX-master: "master"
|
|
%%% End:
|