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TeX
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\documentclass[a5paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\usepackage{tasks}
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% Title Page
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\title{DM2 \hfill GERMAIN Anaïs}
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\tribe{TST}
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\date{\hfillÀ render pour le Mercredi 24 février}
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\xsimsetup{
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solution/print = true
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}
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\begin{document}
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\maketitle
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\begin{exercise}[subtitle={Loi binomiale}]
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Trois personnes s'apprêtent à passer le portique de sécurité. On suppose que pour chaque personne la probabilité que le portique sonne est égale à $0.68$.
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Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes faisant sonner le portique, parmi les 3 personnes de ce groupe.
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\begin{enumerate}
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\item Tracer l'arbre représentant le situation.
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\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
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\item Quelle est la probabilité qu'une seule personne fasse sonner le portique?
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\item Calculer puis interpréter les probabilités suivantes
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\[
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P(X = 0) \qquad \qquad P(X \geq 2)
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\]
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\item Calculer l'espérance de $X$ et interpréter le résultat.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{tikzpicture}[sloped]
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\node {.}
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child {node {$0$}
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child {node {$0$}
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child {node {$0$}
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edge from parent
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node[above] {0.32}
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}
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child {node {$1$}
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edge from parent
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node[above] {0.68}
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}
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edge from parent
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node[above] {0.32}
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}
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child[missing] {}
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child {node {$1$}
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child {node {$0$}
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edge from parent
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node[above] {0.32}
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}
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child {node {$1$}
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edge from parent
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node[above] {0.68}
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}
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edge from parent
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node[above] {0.32}
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}
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edge from parent
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node[above] {0.32}
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}
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child[missing] {}
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child[missing] {}
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child[missing] {}
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child { node {$1$}
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child {node {$0$}
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child {node {$0$}
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edge from parent
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node[above] {0.32}
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}
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child {node {$1$}
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edge from parent
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node[above] {0.68}
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}
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edge from parent
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node[above] {0.32}
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|
}
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child[missing] {}
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child {node {$1$}
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|
child {node {$0$}
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edge from parent
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node[above] {0.32}
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|
}
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child {node {$1$}
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|
edge from parent
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node[above] {0.68}
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|
}
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|
edge from parent
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node[above] {0.32}
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|
}
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edge from parent
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node[above] {0.68}
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} ;
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\end{tikzpicture}
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\item Chaque personne a 2 possibilités (1: fait sonner ou 2: ne fait pas sonner) et l'on fait passer 3 personnes ce qui correspond à une répétition identique et aléatoire. On peut donc modéliser la situation par une loi binomiale.
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\[
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X \sim \mathcal{B}(3; 0.76)
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\]
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\item Probabilité qu'une seule personne fasse sonner le portique. On voit qu'il y a 3 branches qui correspondent à cette situation dont
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\[
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P(X = 1) = 3 \times 0.68^1 \times 0.32^2 \approx 0.209
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\]
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\item
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\[
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P(X = 0) = 0.32^3 \approx 0.033
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\]
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\[
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|
P(X \geq 2) = P(X = 2) + P(X = 3) = 3 \times 0.68^2 \times 0.32^1 + 0.68^3 \approx 0.758
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\]
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\item Il faut d'abord tracer le tableau résumant la loi de probabilité:
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|c|*{4}{c|}}
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\hline
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Valeur & 0 & 1 & 2 & 3 \\
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\hline
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Probabilité & $0.033$ & $0.209$ & $0.444$ &$0.314$ \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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On peut alors calculer l'espérance
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\[
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E[X] = 0 \times 0.033 + 1 \times 0.209 + 2 \times 0.444 + 3 \times 0.314 = 2.04
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\]
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On peut donc estimer qu'il y aura en moyenne $2.04$ personnes qui feront sonner le portique sur les 3 personnes.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Équation puissance}]
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Résoudre les équations et inéquations suivantes
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $10^x = 48$
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\item $2^x = 42$
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\item $0.47^x \leq 46$
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\item $7 \times 0.37^x = 45$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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Les solutions ci-dessous ne sont pas justifiée car l'ordinateur ne sait pas faire. Par contre, vous vous devez savoir justifier vos réponses!
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\begin{enumerate}
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\item $x = \log(48)$
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\item $x = \frac{\log(42)}{\log(2)}$
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\item Il faut faire attention quand on divise par un log car ce dernier peut être négatif ce qui est le cas ici. Il faut donc pense à changer le sens de l'inégalité.
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$x \geq \frac{\log(46)}{\log(0.47)}$
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\item Il faut penser à faire la division à par $7$ avant d'utiliser le log car sinon, on ne peut pas utiliser la formule $\log(a^n) = n\times \log(a)$.
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$x = \frac{\log(6.43)}{\log(0.37)}$
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
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Soit $f(x) = - 7x^3 + 472.5x^2 + 4116x + 48$ une fonction définie sur $\R$.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer $f'(x)$ la dérivée de $f(x)$.
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\item Calculer $f'(49)$ et $f'(-4)$.
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\item En déduire une forme factorisée de $f'(x)$.
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\item Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire les variations de $f(x)$.
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\item Est-ce que la fonction $f(x)$ admet un maximum ou un minimum? Si oui, calculer sa valeur.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item Dérivée de $f(x)$: $f'(x) = - 21x^2 + 945x + 4116$
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\item
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\begin{align*}
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f'(49) &= - 21 \times 49^{2} + 945 \times 49 + 4116\\&= - 21 \times 2401 + 46305 + 4116\\&= - 50421 + 50421\\&= 0
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\end{align*}
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\begin{align*}
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f'(-4) &= - 21 \times - 4^{2} + 945(- 4) + 4116\\&= - 21 \times 16 - 3780 + 4116\\&= - 336 + 336\\&= 0
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\end{align*}
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Donc $x = 49$ et $x=-4$ sont des racines de $f'(x) = - 21x^2 + 945x + 4116$.
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\item On en déduit la forme factorisée suivante
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\[
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f'(x) = -21 (x - 49)(x--4)
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\]
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\item Pas de correction disponible
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\item À causes des branches extérieurs, la fonction $f(x)$ n'a pas de maximum ou de minimum.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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%\printsolutionstype{exercise}
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\end{document}
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