204 lines
7.5 KiB
TeX
204 lines
7.5 KiB
TeX
\documentclass[a5paper,10pt]{article}
|
|
\usepackage{myXsim}
|
|
\usepackage{tasks}
|
|
|
|
% Title Page
|
|
\title{DM2 \hfill PERES RAMALHO Emeric}
|
|
\tribe{TST}
|
|
\date{\hfillÀ render pour le Mercredi 24 février}
|
|
|
|
\xsimsetup{
|
|
solution/print = true
|
|
}
|
|
|
|
\begin{document}
|
|
\maketitle
|
|
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Loi binomiale}]
|
|
Trois personnes s'apprêtent à passer le portique de sécurité. On suppose que pour chaque personne la probabilité que le portique sonne est égale à $0.19$.
|
|
|
|
Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes faisant sonner le portique, parmi les 3 personnes de ce groupe.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Tracer l'arbre représentant le situation.
|
|
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
|
|
\item Quelle est la probabilité qu'une seule personne fasse sonner le portique?
|
|
\item Calculer puis interpréter les probabilités suivantes
|
|
\[
|
|
P(X = 0) \qquad \qquad P(X \geq 2)
|
|
\]
|
|
\item Calculer l'espérance de $X$ et interpréter le résultat.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{solution}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item
|
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
|
\node {.}
|
|
child {node {$0$}
|
|
child {node {$0$}
|
|
child {node {$0$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.81}
|
|
}
|
|
child {node {$1$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.19}
|
|
}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.81}
|
|
}
|
|
child[missing] {}
|
|
child {node {$1$}
|
|
child {node {$0$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.81}
|
|
}
|
|
child {node {$1$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.19}
|
|
}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.81}
|
|
}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.81}
|
|
}
|
|
child[missing] {}
|
|
child[missing] {}
|
|
child[missing] {}
|
|
child { node {$1$}
|
|
child {node {$0$}
|
|
child {node {$0$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.81}
|
|
}
|
|
child {node {$1$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.19}
|
|
}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.81}
|
|
}
|
|
child[missing] {}
|
|
child {node {$1$}
|
|
child {node {$0$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.81}
|
|
}
|
|
child {node {$1$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.19}
|
|
}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.81}
|
|
}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.19}
|
|
} ;
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\item Chaque personne a 2 possibilités (1: fait sonner ou 2: ne fait pas sonner) et l'on fait passer 3 personnes ce qui correspond à une répétition identique et aléatoire. On peut donc modéliser la situation par une loi binomiale.
|
|
\[
|
|
X \sim \mathcal{B}(3; 0.76)
|
|
\]
|
|
\item Probabilité qu'une seule personne fasse sonner le portique. On voit qu'il y a 3 branches qui correspondent à cette situation dont
|
|
\[
|
|
P(X = 1) = 3 \times 0.19^1 \times 0.81^2 \approx 0.374
|
|
\]
|
|
\item
|
|
\[
|
|
P(X = 0) = 0.81^3 \approx 0.531
|
|
\]
|
|
\[
|
|
P(X \geq 2) = P(X = 2) + P(X = 3) = 3 \times 0.19^2 \times 0.81^1 + 0.19^3 \approx 0.095
|
|
\]
|
|
|
|
\item Il faut d'abord tracer le tableau résumant la loi de probabilité:
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tabular}{|c|*{4}{c|}}
|
|
\hline
|
|
Valeur & 0 & 1 & 2 & 3 \\
|
|
\hline
|
|
Probabilité & $0.531$ & $0.374$ & $0.088$ &$0.007$ \\
|
|
\hline
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{center}
|
|
On peut alors calculer l'espérance
|
|
\[
|
|
E[X] = 0 \times 0.531 + 1 \times 0.374 + 2 \times 0.088 + 3 \times 0.007 = 0.57
|
|
\]
|
|
On peut donc estimer qu'il y aura en moyenne $0.57$ personnes qui feront sonner le portique sur les 3 personnes.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Équation puissance}]
|
|
Résoudre les équations et inéquations suivantes
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $10^x = 5$
|
|
\item $4^x = 39$
|
|
\item $0.95^x \leq 21$
|
|
\item $10 \times 0.74^x = 16$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{multicols}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{solution}
|
|
Les solutions ci-dessous ne sont pas justifiée car l'ordinateur ne sait pas faire. Par contre, vous vous devez savoir justifier vos réponses!
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $x = \log(5)$
|
|
\item $x = \frac{\log(39)}{\log(4)}$
|
|
\item Il faut faire attention quand on divise par un log car ce dernier peut être négatif ce qui est le cas ici. Il faut donc pense à changer le sens de l'inégalité.
|
|
|
|
$x \geq \frac{\log(21)}{\log(0.95)}$
|
|
|
|
\item Il faut penser à faire la division à par $10$ avant d'utiliser le log car sinon, on ne peut pas utiliser la formule $\log(a^n) = n\times \log(a)$.
|
|
|
|
$x = \frac{\log(1.6)}{\log(0.74)}$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
|
Soit $f(x) = - 3x^3 + 108x^2 - 396x - 26$ une fonction définie sur $\R$.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Calculer $f'(x)$ la dérivée de $f(x)$.
|
|
\item Calculer $f'(22)$ et $f'(2)$.
|
|
\item En déduire une forme factorisée de $f'(x)$.
|
|
\item Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire les variations de $f(x)$.
|
|
\item Est-ce que la fonction $f(x)$ admet un maximum ou un minimum? Si oui, calculer sa valeur.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{solution}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Dérivée de $f(x)$: $f'(x) = - 9x^2 + 216x - 396$
|
|
\item
|
|
\begin{align*}
|
|
f'(22) &= - 9 \times 22^{2} + 216 \times 22 - 396\\&= - 9 \times 484 + 4752 - 396\\&= - 4356 + 4356\\&= 0
|
|
\end{align*}
|
|
\begin{align*}
|
|
f'(2) &= - 9 \times 2^{2} + 216 \times 2 - 396\\&= - 9 \times 4 + 432 - 396\\&= - 36 + 36\\&= 0
|
|
\end{align*}
|
|
Donc $x = 22$ et $x=2$ sont des racines de $f'(x) = - 9x^2 + 216x - 396$.
|
|
\item On en déduit la forme factorisée suivante
|
|
\[
|
|
f'(x) = -9 (x - 22)(x-2)
|
|
\]
|
|
\item Pas de correction disponible
|
|
\item À causes des branches extérieurs, la fonction $f(x)$ n'a pas de maximum ou de minimum.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
|
|
|
|
%\printsolutionstype{exercise}
|
|
|
|
|
|
|
|
\end{document}
|
|
|
|
%%% Local Variables:
|
|
%%% mode: latex
|
|
%%% TeX-master: "master"
|
|
%%% End:
|