65 lines
1.9 KiB
TeX
65 lines
1.9 KiB
TeX
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
|
|
\usepackage{myXsim}
|
|
|
|
\title{Complexes, module et argument}
|
|
\tribe{Terminale ST Sti2d}
|
|
\date{Octobre 2020}
|
|
|
|
\pagestyle{empty}
|
|
\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
|
|
|
|
\begin{document}
|
|
|
|
\setcounter{section}{1}
|
|
\section{Module et argument d'un nombre complexe}
|
|
|
|
\subsection*{Définition}
|
|
|
|
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
|
Un nombre complexe peut être décrit de façon \textbf{trigonométrique}, pour cela il est décrit par deux grandeurs
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item \textbf{Le module}, $r$, c'est sa distance avec l'origine.
|
|
\item \textbf{L'argument}, $\theta$, c'est l'angle orienté qu'il fait avec l'axe des abscisses.
|
|
\end{itemize}
|
|
On écrira alors
|
|
\[
|
|
z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))
|
|
\]
|
|
\end{minipage}
|
|
\hfill
|
|
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
|
\begin{tikzpicture}[yscale=.8, xscale=.8]
|
|
\repereNoGrid{-1}{5}{-1}{5}
|
|
\draw (0,0) -- (3,3) node [above, midway, sloped] {$r$} node [above right] {$M(a+ib)$};
|
|
\draw [->] (2,0) arc (0:45:2) node [midway, right] {$\theta$};
|
|
\draw [dashed] (3,0) node [below] {$a$} -- (3,3);
|
|
\draw [dashed] (0,3) node [left] {$b$} -- (3,3);
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{minipage}
|
|
|
|
\subsection*{Trigonométrique vers algébrique}
|
|
|
|
On a un nombre complexe sous forme trigonométrique $z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))$. Sa forme algébrique est alors
|
|
\[
|
|
a = r\cos(\theta) \mbox{ et } b = r\sin(\theta)
|
|
\]
|
|
|
|
\paragraph{Exemple:} Forme algébrique de $z = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i \sin(\frac{\pi}{3}))$
|
|
|
|
\afaire{à convertir}
|
|
|
|
|
|
|
|
\subsection*{Algébrique vers trigonométrique}
|
|
|
|
On a un nombre complexe sous forme algébrique $z = a + ib$. On peut calculer son module et son argument ainsi
|
|
\[
|
|
r = \sqrt{a^2+b^2} \qquad \mbox{ et } \theta \mbox{ se détermine avec } \qquad \cos(\theta) = \frac{a}{r} \qquad \sin(\theta) = \frac{b}{r}
|
|
\]
|
|
|
|
\paragraph{Exemple:} Retrouver le module et l'argument de $z = \sqrt{2} + i\sqrt{2}$
|
|
|
|
\afaire{à convertir}
|
|
|
|
\end{document}
|