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TeX
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\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
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%- set pA = round(random(), 2)
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%- set pB = round(1 - pA, 2)
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%- set pD_A = round(random(), 2)
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%- set pD_B = round(random(), 2)
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%- set pDB = round(pB*pD_B, 2)
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%- set pDA = round(pA*pD_A, 2)
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%- set pD = round(pDA + pDB, 2)
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\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
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\bigskip
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\begin{minipage}{0.6\linewidth}
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\textbf{Partie A}
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\medskip
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Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
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L'atelier A fabrique \Var{pA*100 | round(2)}\,\% des stylos, et parmi ceux-là, \Var{pD_A*100 | round(2)}\,\% possèdent un défaut de fabrication.
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De plus, \Var{pDB*100 | round(2)}\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
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Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
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On considère les évènements suivants:
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\begin{itemize}
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\item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
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\item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
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\item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
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\end{itemize}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.4\linewidth}
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[sloped]
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\node {.}
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child {node {$A$}
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child {node {$D$}
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edge from parent
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node[above] {...}
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}
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child {node {$\overline{D}$}
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edge from parent
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node[above] {...}
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}
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edge from parent
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node[above] {...}
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}
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child[missing] {}
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child { node {$B$}
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child {node {$D$}
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edge from parent
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node[above] {...}
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|
}
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|
child {node {$\overline{D}$}
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|
edge from parent
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|
node[above] {...}
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|
}
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|
edge from parent
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node[above] {...}
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} ;
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\end{minipage}
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
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\item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
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\item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $\Var{pD}$.
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\end{enumerate}
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\item On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
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\end{enumerate}
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\bigskip
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\textbf{Partie B}
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%- set nbr = randint(10, 20)
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%- set k = randint(int(nbr/2), nbr)
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\medskip
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Dans cette partie, on suppose que \Var{pD*100 | round(2)}\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
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L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
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Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
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On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
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On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\setcounter{enumi}{4}
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\item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
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\item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = \Var{k})$.
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\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
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\item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
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\end{enumerate}
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\pagebreak
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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|
\item
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[sloped]
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\node {.}
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child {node {$A$}
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child {node {$D$}
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edge from parent
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node[above] {\Var{pD_A}}
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|
}
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child {node {$\overline{D}$}
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|
edge from parent
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node[above] {\Var{round(1-pD_A, 2)}}
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|
}
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|
edge from parent
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|
node[above] {\Var{pA}}
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|
}
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|
child[missing] {}
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|
child { node {$B$}
|
|
child {node {$D$}
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|
edge from parent
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|
node[above] {\Var{pD_B}}
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|
}
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|
child {node {$\overline{D}$}
|
|
edge from parent
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|
node[above] {\Var{round(1-pD_B, 2)}}
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|
}
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|
edge from parent
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|
node[above] {\Var{pB}}
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} ;
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\item
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\begin{itemize}
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\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
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\[
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P(A) = \Var{pA}
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\]
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\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
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\[
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P(B) = \Var{pB}
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\]
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\item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
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\[
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|
P_A(D) = \Var{pD_A}
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\]
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\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
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\[
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|
P(D \cap D) = \Var{pDB}
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|
\]
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|
\end{itemize}
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|
\item
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\begin{enumerate}
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\item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
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\[
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P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = \Var{pA} \times \Var{pD_A} = \Var{pDA}
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\]
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\item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
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\[
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P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = \Var{pDA} + \Var{pDB} = \Var{pD}
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\]
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\end{enumerate}
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\item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
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\[
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P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{\Var{pDA}}{\Var{pD}} = \Var{round(pDA/pD, 2)}
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\]
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\item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=\Var{nbr}$ et $p=\Var{pD}$.
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\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
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\[
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P(X = \Var{k}) = \coefBino{\Var{nbr}}{\Var{k}}\times \Var{pD}^{\Var{k}} \times \Var{round(1 - pD, 2)}^{\Var{nbr-k}}
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\]
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|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
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Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
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\[
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P(X = 0) = \coefBino{\Var{nbr}}{0}\times \Var{pD}^{0} \times \Var{round(1 - pD, 2)}^{\Var{nbr}}
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\]
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Puis comparer ce nombre à 0,5.
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\item Il faut calculer l'espérance
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\[
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E[X] = n\times p = \Var{nbr} \times \Var{pD} = \Var{round(nbr*pD, 2)}
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\]
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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