137 lines
5.0 KiB
TeX
137 lines
5.0 KiB
TeX
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
|
\usepackage{myXsim}
|
|
|
|
% Title Page
|
|
\title{DS8 \hfill EVRARD Jules}
|
|
\tribe{TST sti2d}
|
|
\date{\hfillÀ render pour le vendredi 9 avril à 10h au plus tard}
|
|
|
|
\xsimsetup{
|
|
solution/print = false
|
|
}
|
|
|
|
\begin{document}
|
|
\maketitle
|
|
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonction}]
|
|
On considère la fonction $f$ définie sur $\intOF{0}{+\infty}$ par $ f(x) = 5x^2 + 0x + - 360\ln(x)$
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Démontrer que la dérivée de $f$ est $f'(x) = \frac{10x^2 + 0x + - 360}{x}$.
|
|
\item Étude du numérateur de $f'(x)$: $N(x) = 10x^2 - 360$
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Démontrer que $x=6$ et $x=- 6$ sont deux racines de $N(x)$..
|
|
\item Proposer une forme factorisée de $N(x)$.
|
|
\item Proposer une forme factorisée de $f'(x)$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{solution}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item pas de correction disponible
|
|
\item
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item \[N(6) = 0\]
|
|
\[N(- 6) = 0\]
|
|
\item \[
|
|
N(x) = 10(x - 6)(x - - 6)
|
|
\]
|
|
\item
|
|
\[
|
|
f'(x) = \frac{10(x - 6)(x - - 6)}{x}
|
|
\]
|
|
\end{enumerate}
|
|
\item Pas de correction disponible
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Complexes}]
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Mettre le nombre complexe suivant sous forme algébrique $z_1 = \dfrac{10 + 8 i}{-5 + 7 i} $
|
|
\item Mettre le complexe suivante sous forme exponentielle $z_2 = 9 \sqrt{2} - 9 \sqrt{2} i$
|
|
\item Mettre le complexe suivante sous forme exponentielle $z_3 = 7 \sqrt{3} + 7 i$
|
|
\item Calculer le produit $z_4=z_2\times z_3$ donner le résultat sous forme exponentielle puis algébrique.
|
|
\item Calculer le quotient $z_5=\frac{z_2}{z_3}$ donner le résultat sous forme exponentielle puis algébrique.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{solution}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $z_1 = \frac{3}{37} - \frac{55 i}{37}$
|
|
\item $z_2 = 18 e^{- \frac{i \pi}{4}}$
|
|
\item $z_3 = 14 e^{\frac{i \pi}{6}}$
|
|
\item $z_4 = 252 e^{- \frac{i \pi}{12}} = 63 \sqrt{2} + 63 \sqrt{6} + i \left(- 63 \sqrt{6} + 63 \sqrt{2}\right) = 243.0 - 65.2 i$
|
|
\item $z_5 = \frac{9}{7} e^{- \frac{5 i \pi}{12}} = - \frac{9 \sqrt{2}}{28} + \frac{9 \sqrt{6}}{28} + i \left(- \frac{9 \sqrt{6}}{28} - \frac{9 \sqrt{2}}{28}\right) = 0.333 - 1.24 i$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Sortie du congélateur}]
|
|
Marie a invité quelques amis pour le thé. Elle souhaite leur proposer ses macarons maison.
|
|
|
|
Elle les sort de son congélateur à $-15$~\degres C et les place dans une pièce à $17$~\degres C.
|
|
|
|
Au bout de 15 minutes, la température des macarons est de $-1$~\degres C.
|
|
|
|
\bigskip
|
|
|
|
\textbf{Premier modèle}
|
|
|
|
\medskip
|
|
|
|
On suppose que la vitesse de décongélation est constante : chaque minute la hausse de
|
|
température des macarons est la même.
|
|
|
|
Estimer dans ce cadre la température au bout de $30$~minutes, puis au bout de $45$~minutes.
|
|
|
|
Cette modélisation est-elle pertinente?
|
|
|
|
\bigskip
|
|
|
|
\textbf{Deuxième modèle}
|
|
|
|
\medskip
|
|
|
|
On suppose maintenant que la vitesse de décongélation est proportionnelle à la différence
|
|
de température entre les macarons et l'air ambiant (il s'agit de la loi de Newton).
|
|
|
|
On désigne par $\theta$ la température des macarons à l'instant $t$, et par $\theta'$ la vitesse de décongélation.
|
|
|
|
L'unité de temps est la minute et l'unité de température le degré Celsius.
|
|
|
|
\smallskip
|
|
|
|
On négligera la diminution de température de la pièce et on admettra donc qu'il existe un
|
|
nombre réel $a$ tel que, pour $t$ positif :
|
|
|
|
\[\theta'(t) = a [\theta(t) - 17]\quad (E)\]
|
|
|
|
\medskip
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Vérifier que l'équation $(E)$ a pour solutions $\theta(t) = K e^{at} + 17$ où $K$ est un nombre réel.
|
|
|
|
Donner alors, en fonction de $a$, l'ensemble des solutions de $(E)$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
On rappelle que la température des macarons à l'instant $t = 0$ est égale à $-15$~\degres C et que, au bout de $15$~min, elle est de $-1$~\degres C.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\setcounter{enumi}{1}
|
|
\item En utilisant la condition à $t=0$ démontrer que $K = -32$.
|
|
\item En utilisant la condition à $t=15$ démontrer que $a \approx -0.04$.
|
|
\item En déduire l'expression de la solution de l'équation différentielle puis étudier ses variations.
|
|
\item La température idéale de dégustation des macarons étant de $14$~\degres C, Marie estime que
|
|
celle-ci sera atteinte au bout de $30$~min. A-t-elle raison ? Justifier la réponse.
|
|
|
|
Sinon, combien de temps faudra-t-il attendre ?
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
|
|
|
|
\end{document}
|
|
|
|
%%% Local Variables:
|
|
%%% mode: latex
|
|
%%% TeX-master: "master"
|
|
%%% End:
|