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\collectexercises{banque}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de signe d'un polynôme factorisé}, step={1}, origin={Création}, topics={Etude Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
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Tracer le tableau de signe des polynômes suivants
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = 2x + 3$
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\item $g(x) = 4(-x + 2)$
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\item $h(x) = -3(4 - 5x)$
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\item $i(x) = (2x - 1)(3x + 2)$
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\item $j(x) = (5x + 3)(-2x - 6)$
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\item $k(x) = 0.5(4x - 12)(-x + 1)$
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\item $l(x) = 3(x + 2)(x - 5)$
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\item $m(x) = -2(-x + 2)(-2x + 2)$
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\item $n(x) = -0.1(6x - 5)(0.2x + 2)$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude des variations d'un polynôme de degré 3 pas à pas}, step={1}, origin={Création}, topics={Etude Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
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On cherche à étudier les variations de la fonction suivante
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\[
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f(x) = x^3 + 1,5x^2 - 6x +1
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Dériver la fonction $f(x)$ et démontrer que $f'(x) = 3(x-1)(x+2)$
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\item Tracer la tableau de signe de $f'(x)$ puis en déduire les variations de $f(x)$.
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\item La fonction admet-elle un minimum? Un maximum?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Profit masqués}, step={1}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
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Un usine produit chaque jours entre 0 et 50 milles masques. Une étude statistique a montré que les bénéfices pouvaient être modélisés par la fonction suivante:
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\[
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f(x) = x^3 - 96x^2+2489,25x - \np{10171,25}
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Démontrer que $f(x) = (x-5)(x-39,5)(x-51,5)$.
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\item Étudier le signe de $f(x)$.
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\item En déduire le nombre de masque que l'entreprise doit produire pour gagner de l'argent.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Vienoiseries}, step={1}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
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% Inspiré de T1CMATH00290
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Un artisan produit et vend des sachets de viennoiseries. En notant, $x$ le nombre de sachets de viennoiseries ses coûts sont calculables avec la formule suivante:
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\[
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C(x) = x^3 - 120x^2 + 10x
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Calculer le coût de production pour 75 sachets.
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\item Chaque sachet est vendu 10\euro. On rappelle que les bénéfices se calculent en faisant la différence (la soustraction) des recettes et des coûts.
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\begin{enumerate}
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\item On suppose que l'on vend 50 lots. Calculer les recettes, les coûts puis les bénéfices.
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\item Justifier que le bénéfice se calcule alors avec la formule suivante:
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\[
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B(x) = - x^3 + 120x^2
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\]
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\item Démontrer que $B(x)$ peut s'écrire
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\[
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B(x) = x^2(120-x)
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\]
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\item Étudier le signe de $B(x)$.
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\item En déduire la production maximal avant que l'artisan commence à perdre de l'argent.
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\end{enumerate}
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\item Recherche du maximum des bénéfices.
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer $B'(x)$ la dérivée de $B(x)$.
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\item Montrer que l'on peut écrire
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\[
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B'(x) = 3x(80-x)
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\]
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\item Étudier le signe de $B'(x)$ et en déduire les variations de $B(x)$.
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\item En déduire le nombre de sachet que l'artisan doit produire pour maximiser ses bénéfices.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Développer}, step={2}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonction}]
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Identifier les racines des polynômes suivants puis les développer.
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = (x+4)(x-2)$
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\item $g(x) = (x-3)(x-8)$
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\item $h(x) = 2(x-4)(x-8)$
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\item $i(x) = -3(x-1)(x-6)$
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\item $j(x) = 10(x-2)(x-5)$
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\item $k(x) = 0.5(x+1)(x+9)$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Racines}, step={2}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonction}]
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Les phrases suivantes sont-elles justes ou fausses? Justifier
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\begin{enumerate}
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\item La valeur $x=-1$ est une racine du polynôme $f(x) = 3x^2-2x-3$.
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\item La valeur $x=3$ est une racine du polynôme $g(x) = 5(x-3)(x+1)$.
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\item La valeur $x=4$ est une racine du polynôme $h(x) = 2x^2-2x-24$.
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\item La valeur $x=-3$ est une racine du polynôme $h(x) = 2x^2-2x-24$.
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\item Les valeurs $x=-10$ et $x=2$ sont deux racines du polynôme $i(x) = x^2+8x-20$.
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\item Les valeurs $x=-10$ et $x=2$ sont deux racines du polynôme $j(x) = (x+10)(x-2)$.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Racines et factorisation}, step={2}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonction}]
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\begin{enumerate}
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\item Soient 2 fonctions polynômes du 2nd degré
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\[
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f(x) = 5x^2 - 26x + 5 \qquad g(x) = 2(x-5)(x-0.2)
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Démontrer que $x=5$ et $x=0.2$ sont 2 racines de $f$
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\item Démontrer que $x=5$ et $x=0.2$ sont 2 racines de $g$
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\item Est-ce que $f(x)$ et $g(x)$ sont égales?
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\end{enumerate}
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\item Soit $h$ une fonction polynôme du 2nd degré
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\[
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h(x) = x^2 + 2x - 15
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Tracer la représentation graphique de $h$. Conjecturer (lire sur le graphique) les valeurs des 2 racines.
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\item Démontrer que les valeurs trouvées à la questions précédentes sont bien des racines de $h(x)$.
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\item Déterminer la forme factorisée de $h(x)$
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\item En déduire, sans utiliser le graphique, le tableau de signe de $h(x)$.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Factoriser}, step={2}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonction}]
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Dans cet exercice, on souhaite factoriser des polynômes du 2nd degré.
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\begin{enumerate}
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\item On veut factoriser puis étudier le signe de $f(x) = 3x^2 - 9x -30$.
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\begin{enumerate}
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\item Démontrer que 5 est une racine de $f$.
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\item Parmi les nombres suivants, quels sont ceux qui sont des racines de $f$.
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\[
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-3\qquad -2 \qquad 0 \qquad \qquad 2 \qquad 5
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\]
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\item Démontrer que $f(x)$ est égal à $3(x+2)(x-5)$.
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\item En déduire le tableau de signe de $f(x)$.
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\end{enumerate}
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\item On veut factoriser puis étudier le signe de $g(x) = 0.1x^3 - 0.2x^2 - 0.5x + 0.6$.
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\begin{enumerate}
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\item Tracer la courbe représentative de $g$ et trouver les racines de $g$
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\item Proposer une factorisation de $g$ en se basant sur les racines.
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\item Démontrer que cette factorisation est juste par un calcul.
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\item Étudier le signe de $g(x)$.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Constructeur de Machins}, step={3}, origin={Nathan 2ST 1P119}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonction}]
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Une entreprise fabrique des \textit{machins}. Chaque jour, elle peut en produire entre 0 et 80 tonnes.
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Le coût de fabrication, en euros, de $x$ tonnes est modélisé par la fonction $C(x)$ représentée dans le graphique ci-dessous.
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\noindent
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\begin{enumerate}
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\item \textbf{Lecture graphique:} Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.
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\begin{enumerate}
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\item Combien coûte la production de 50tonnes de \textit{machins}.
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\item Quelle quantité de \textit{machins} peut-on produire pour une coût de fabrication de \np{100000}\euro?
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\end{enumerate}
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\item \textbf{Étude des recettes:} Une tonne de \textit{machins} est vendue \np{1900}\euros. La recette pour $x$ tonnes peut donc être modélisée par la fonction $R(x) = 1900x$.
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\begin{enumerate}
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\item Reproduire la représentation graphique de la fonction $R(x)$.
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\item L'entreprise réalise-t-elle des bénéfices en produisant 10tonnes?
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\item Déterminer graphiquement les productions où ses bénéfices sont positifs.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.5, yscale=0.4]
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\tkzInit[xmin=0,xmax=80,xstep=5,
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ymin=0,ymax=160000,ystep=10000]
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\tkzGrid
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\tkzAxeXY
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\tkzFct[domain=0:80,color=red,very thick]%
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{ \x**3 - 105*\x**2 + 3700*\x + 4000 };
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\begin{enumerate}
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\setcounter{enumi}{2}
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\item \textbf{Étude des bénéfices:} On admet que les bénéfices peuvent être modélisés par la fonction $B(x) = -x^3 + 105x^2 -1800x - 4000$ sur $\intFF{0}{80}$.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer $B'(x)$ la dérivée de $B(x)$.
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\item Calculer $B'(10)$ et $B'(60)$
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\item En déduire une forme factorisée de $B'(x)$.
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\item Étudier le signe de $B'(x)$ et en déduire les variations de $B(x)$.
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\item Compléter le tableau de variations de $B(x)$ avec les valeurs au bout des flèches.
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\item Quelle quantité doit produire l'entreprise pour réaliser un bénéfice maximal. Que vaut ce bénéfice?
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Producteur de carottes}, step={3}, origin={Nathan 1ST 1P119}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonction}]
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Une entrepise produit et vend des carottes. Elle a la capacité de produire entre 0 et 16 tonnes.
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Le coût de production, en euro, de $x$ tonnes est modélisé par la fonnction
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\[
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C(x) = x^3 - 15x^2 + 78xx -650
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\]
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Chaque tonne de carottes est vendue 150\euro.
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\begin{enumerate}
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\item \textbf{Production de 3 tonnes de carottes}
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer le coût de production de 3 tonnes de carottes.
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\item Déterminer les revenus de la vente de 3 tonnes.
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\item En déduire les bénéfices. L'entreprise réalise-t-elle des bénéfices?
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\end{enumerate}
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\item \textbf{Étude des bénéfices}
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer l'expression des revenus $R(x)$ pour $x$ tonnes de carottes vendues.
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\item En déduire que les bénéfices peuvent être modélisés par la fonction
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\[ B(x) = -x^3 + 15x^2 + 72x + 650 \]
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\item Calculer $B'(x)$
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\item Calculer $B'(-2)$ et $B'(12)$. En déduire une forme factorisée de $B'(x)$.
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\item Étudier le signe de $B'(x)$ puis en déduire les variations de $B(x)$ pour $x$ variant entre 0 et 16.
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\item Quelles quantité de carottes doivent être vendues pour avoir un bénéfice maximal? Quel est alors ce bénéfice?
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Volume d'une boite}, step={3}, origin={Création}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonction}]
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\notindent
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\begin{minipage}{0.6\linewidth}
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\textit{Cet exercice est une tache complexe. C'est à vous d'explorer et de mettre les maths qui vous semblent appropriés pour résoudre le problème}.
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\medskip
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On dispose d'une feuille cartonnée pour construire des boites sans couvercle.
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Où doit-on plier les bords pour avoir une boite la plus grande possible?
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.3\linewidth}
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\includegraphics[scale=0.3]{./fig/boite}
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\end{minipage}
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\end{exercise}
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\collectexercisesstop{banque}
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