Bertrand Benjamin
7bac6d2517
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367 lines
15 KiB
TeX
367 lines
15 KiB
TeX
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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% Title Page
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\title{DM1 \hfill BALUKHATYY Alexandre}
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\tribe{Maths complémentaires}
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\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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\begin{document}
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\maketitle
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Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
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\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
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\begin{minipage}{0.6\textwidth}
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On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $14m^3$. La longueur est aussi fixée à $2m$ par le cahier des charges.
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On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.3\textwidth}
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\begin{tikzpicture}
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\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
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\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
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\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
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\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
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\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$2m$} -- cycle;
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\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\begin{enumerate}
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\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
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\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{7}{x}$.
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\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
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\[
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S(x) = 4x + 14 + \frac{28}{x}
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\]
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\item Démontrer que
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\[
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S(x) = \frac{4x^2 + 14x + 28}{x}
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\]
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\item Démontrer que
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\[
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S'(x) = \frac{4x^2 - 28}{x^2}
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\]
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\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
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\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
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\begin{itemize}
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\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=14$, $h$ doit être égale à $7 / 2$
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\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=14$, $h$ doit être égale à $7 / 3$
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\end{itemize}
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\item Pour calculer le volume, on a
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\begin{eqnarray*}
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V &=& h\times x \times 2 \\
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14 &=& h\times x \times 2 \\
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x &=& \frac{14}{h\times 2} = \frac{7}{h}
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\end{eqnarray*}
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\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
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\begin{eqnarray*}
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S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times2\times2 + h\times 2\times 2\\
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S(x) &=& x\times \frac{7}{x} \times 2 + x\times2\times2 + \frac{7}{x}\times 2\times 2\\
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||
S(x) &=& 4x + 14 + \frac{28}{x}
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||
\end{eqnarray*}
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\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
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\begin{eqnarray*}
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S(x) &=& 4x + 14 + \frac{28}{x}\\
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||
S(x) &=& \frac{4x\times x}{x} + \frac{14\times x}{x} + \frac{28}{x}\\
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||
S(x) &=& \frac{4x^2 + 14x + 28}{x}
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\end{eqnarray*}
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\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
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\[
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u(x) = 4x^2 + 14x + 28 \Rightarrow u'(x) = 8x + 14
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\]
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\[
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v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
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\]
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Donc au numérateur on obtient
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\begin{eqnarray*}
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u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (8x + 14)\times x - (4x^2 + 14x + 28)\times 1\\
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&=& 4x^2 - 28
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||
\end{eqnarray*}
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Donc
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\[
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S'(x) = \frac{4x^2 - 28}{x^2}
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\]
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\item Tableau de variations de $S$
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\begin{itemize}
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\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
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\item Signe de $4x^2 - 28$: c'est un polynôme du 2e degré
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\[
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\Delta = 448 > 0
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\]
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Il y a donc 2 racines
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\[
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x_1 = - 2.6457513110645907 \qquad
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||
x_2 = 2.6457513110645907
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||
\]
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||
Et on sait que $4x^2 - 28$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
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\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
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\item Tableau de variations
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\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
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\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$4x^2 - 28$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 2.6457513110645907$, $10$}
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||
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
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||
\tkzTabLine{d,+, , +, }
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||
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
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\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
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||
\end{tikzpicture}
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||
\end{itemize}
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\item On a donc une surface minimal pour $x=2.6457513110645907$ et $h = 18.5202591774521349$.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
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Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par
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\[
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||
f(x) = \left(- x^{2} + 7.7 x - 8.4\right) e^{- x} + 8.4
|
||
\]
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||
On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
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||
\begin{enumerate}
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||
\item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
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||
\item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
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||
\[
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||
F(x) = 8.4 x + \left( x^{2} - 5.7 x + 2.7\right) e^{- x}
|
||
\]
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||
\item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
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||
\item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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||
\begin{enumerate}
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||
\item
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\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
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||
\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
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||
ymin=0,ymax=10,ystep=1]
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||
\tkzGrid
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||
\tkzAxeXY
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\tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
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||
{ (-x**2 + 7.7*x - 8.4)*exp(-x) + 8.4 };
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||
\end{tikzpicture}
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||
\item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
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||
\item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = 30.9 - \frac{4.1}{e^{4}}$
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||
\item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à
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\[
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||
(30.9 - \frac{4.1}{e^{4}})\times 4 \times 15^2 = 27742.00000
|
||
\]
|
||
\end{enumerate}
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||
\end{solution}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
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\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
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\bigskip
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\begin{minipage}{0.6\linewidth}
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\textbf{Partie A}
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\medskip
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Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
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L'atelier A fabrique 14.000000000000002\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 51.0\,\% possèdent un défaut de fabrication.
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||
De plus, 61.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
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||
Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
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On considère les évènements suivants:
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\begin{itemize}
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\item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
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\item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
|
||
\item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
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||
\end{itemize}
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||
\end{minipage}
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||
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
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||
\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[sloped]
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||
\node {.}
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child {node {$A$}
|
||
child {node {$D$}
|
||
edge from parent
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||
node[above] {...}
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||
}
|
||
child {node {$\overline{D}$}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
|
||
}
|
||
edge from parent
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||
node[above] {...}
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||
}
|
||
child[missing] {}
|
||
child { node {$B$}
|
||
child {node {$D$}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
|
||
}
|
||
child {node {$\overline{D}$}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
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||
}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
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} ;
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||
\end{tikzpicture}
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||
\end{center}
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||
\end{minipage}
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||
\medskip
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||
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||
\begin{enumerate}
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||
\item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
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||
\item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
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||
|
||
\item
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||
\begin{enumerate}
|
||
\item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
|
||
\item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.68$.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\item On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
|
||
\end{enumerate}
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||
|
||
\bigskip
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||
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||
\textbf{Partie B}
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\medskip
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||
Dans cette partie, on suppose que 68.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
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||
L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
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||
Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
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||
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
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||
|
||
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
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||
\medskip
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||
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||
\begin{enumerate}
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||
\setcounter{enumi}{4}
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||
\item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
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||
\item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 10)$.
|
||
\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
|
||
\item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
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||
\end{enumerate}
|
||
\pagebreak
|
||
\end{exercise}
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||
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||
\begin{solution}
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item
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||
\begin{center}
|
||
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||
\node {.}
|
||
child {node {$A$}
|
||
child {node {$D$}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {0.51}
|
||
}
|
||
child {node {$\overline{D}$}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {0.49}
|
||
}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {0.14}
|
||
}
|
||
child[missing] {}
|
||
child { node {$B$}
|
||
child {node {$D$}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {0.71}
|
||
}
|
||
child {node {$\overline{D}$}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {0.29}
|
||
}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {0.86}
|
||
} ;
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\end{center}
|
||
\item
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
|
||
\[
|
||
P(A) = 0.14
|
||
\]
|
||
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
|
||
\[
|
||
P(B) = 0.86
|
||
\]
|
||
\item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
|
||
\[
|
||
P_A(D) = 0.51
|
||
\]
|
||
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
|
||
\[
|
||
P(D \cap D) = 0.61
|
||
\]
|
||
\end{itemize}
|
||
\item
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
|
||
\[
|
||
P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.14 \times 0.51 = 0.07
|
||
\]
|
||
\item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
|
||
\[
|
||
P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.07 + 0.61 = 0.68
|
||
\]
|
||
\end{enumerate}
|
||
\item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
|
||
\[
|
||
P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.07}{0.68} = 0.1
|
||
\]
|
||
\item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=16$ et $p=0.68$.
|
||
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||
\[
|
||
P(X = 10) = \coefBino{16}{10}\times 0.68^{10} \times 0.32^{6}
|
||
\]
|
||
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||
|
||
Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
|
||
\[
|
||
P(X = 0) = \coefBino{16}{0}\times 0.68^{0} \times 0.32^{16}
|
||
\]
|
||
Puis comparer ce nombre à 0,5.
|
||
\item Il faut calculer l'espérance
|
||
\[
|
||
E[X] = n\times p = 16 \times 0.68 = 10.88
|
||
\]
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{solution}
|
||
|
||
\end{document}
|
||
|
||
%%% Local Variables:
|
||
%%% mode: latex
|
||
%%% TeX-master: "master"
|
||
%%% End:
|