2020-2021/TST/DS/DS_21_01_13/exercises.tex

116 lines
4.7 KiB
TeX

\collectexercises{banque}
\begin{exercise}[subtitle={Automatismes}, points=6, tribe={}, type={automatismes}]
\begin{enumerate}
\item Simplifier le calcul suivant
\begin{bclogo}[barre=none, logo=]{Réponse}
$\ds \frac{2\times10^{6} \times 10^{-3}\times 3}{5\times 10^2 \times 10^6} =$
\vspace{2cm}
\end{bclogo}
\item Une quantité est augmenté de 15\%. Quel taux d'évolution doit-on appliqué pour la faire revenir à sa valeur initiale?
\reponse{2.5cm}
\item En 2010, la chiffre d'affaire d'une entreprise était de \np{15 000}. Chaque année, il a progressé de 8\%. Quel est le taux d'évolution global entre 2010 et 2020?
\reponse{2.5cm}
\item En 2015, j'achète une voiture \np{10000}\euro. En 2019, elle a perdu 50\% de sa valeur. Quel a été la perte annuelle moyenne?
\reponse{2.5cm}
\item Convertir $89,45m^2$ en $cm^2$
\reponse{2cm}
\pagebreak
\item Convertir 3,8h en heure et minutes.
\reponse{2cm}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Équation et logarithme}, points=4.5, tribe={}, type={Exercise}]
Résoudre par un calcul les équations et inéquations suivantes
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $10^x = 150$
\item $10^{-2x + 4} \leq 5$
\item $2\times 10^x = 100$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Production en transition}, points=9.5, tribe={}, type={Exercise}]
\noindent
Une usine qui fabrique un produit A, décide de fabriquer un nouveau produit B afin d'augmenter son chiffre d'affaires. La quantité, exprimée en tonnes, fabriquée par jour par l'usine est modélisée par :
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item la fonction $f$ définie sur [0~;~14] par
\[f(x) = \np{2000}\times 0.81^{x}\]
pour le produit A ;
\item la fonction $g$ définie sur [0~;~14] par
\[g (x)= 15x^2 + 50 x\]
pour le produit B
\end{itemize}
\end{multicols}
$x$ est la durée écoulée depuis le lancement du nouveau produit B exprimée en mois.
\noindent
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\textbf{Partie A}
Leurs courbes représentatives respectives $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sont données ci-contre.
Par lecture graphique, sans justification et avec la précision permise par le graphique :
\begin{enumerate}
\item Quelle est la quantité de produit A au lancement du produit B?
\item Quelle est la quantité de produit B produite 9 mois après le lancement?
\item Déterminer la durée nécessaire pour que la quantité de produit B dépasse celle du produit A.
\item L'usine ne peut pas fabriquer une quantité journalière de produit B supérieure à \np{3000}~tonnes.
Au bout de combien de mois cette quantité journalière sera atteinte?
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{tikzpicture}[xscale=0.6, yscale=1]
\tkzInit[xmin=0,xmax=14,xstep=1,
ymin=0,ymax=3500,ystep=500]
\tkzGrid
\tkzGrid[sub, subystep=100, subxstep=1]
\tkzDrawX[label={\textit{Temps (en mois)}},below=10pt]
\tkzLabelX
\tkzDrawY[label={\textit{Production (en tonnes)}}, right=10pt]
\tkzLabelY
\tkzFct[domain=0:14,color=red,very thick]{2000*0.81**(\x)}
\tkzDefPointByFct(1)
\tkzText[above right,text=red](tkzPointResult){${\mathcal{C}}_f$}
\tkzFct[domain=0:14,color=black,very thick]{15*\x**2 + 50*\x}
\tkzDefPointByFct(1)
\tkzText[above right,text=black](tkzPointResult){${\mathcal{C}}_g$}
%\tkzFct[domain=0:14,color=green,very thick]{15*\x**2 + 50*\x + 2000*0.81**\x}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\noindent
\textbf{Partie B}
\noindent
Vos réponses aux questions suivantes ne pourront pas être justifiées à l'aide du graphique.
\noindent
\begin{enumerate}
\item Calculer et interpréter $f(4)$ et $g(4)$.
\item Quelle sera la production de produit A 9 mois après le lancement?
\item À partir de la formule de $f(x)$ justifier que la fonction est décroissante.
\item Combien de temps faut-il attendre pour que la production de produit A soit inférieur à 400tonnes.
\item (*) Combien de temps faut-il attendre pour que la production totale soit supérieur à 2100 tonnes?
\end{enumerate}
\end{exercise}
\collectexercisesstop{banque}