2020-2021/Complementaire/02_Inference_Baysienne/3B_formule_bayes.tex

116 lines
3.4 KiB
TeX

\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\usepackage{qrcode}
\author{Benjamin Bertrand}
\title{Probabilités conditionnelles - Cours}
\date{Mars 2021}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\maketitle
\setcounter{section}{2}
\section{Formule de Bayes}
\subsection*{Arbre de probabilité}
Les probabilités conditionnelles peuvent se représenter sous forme d'arbre de probabilité.
Soit $A$ deux évènements de $E$ avec $P(A) \neq 0$ et $B$, $C$ et $D$ trois autres évènements de $E$. Alors on peut considérer l'arbre de probabilité ci-contre et on obtient les propriétés suivantes:
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
\begin{tikzpicture}[grow=right, sloped, xscale=2, yscale=1.5]
\node {.}
child [red] {node {$A$}
child {node {$B$}
edge from parent
node[above] {$P_A(B)$}
}
child [black] {node {$C$}
edge from parent
node[above] {$P_A(C)$}
}
child [black] {node {$D$}
edge from parent
node[above] {$P_A(D)$}
}
edge from parent
node[above] {$P(A)$}
}
child[missing] {}
child[missing] {}
child { node {$\overline{A}$}
child {node {$B$}
edge from parent
node[above] {$P_{\overline{A}}(B)$}
}
child [black] {node {$C$}
edge from parent
node[above] {$P_{\overline{A}}(C)$}
}
child [black] {node {$D$}
edge from parent
node[above] {$P_{\overline{A}}(D)$}
}
edge from parent
node[above] {$P(\overline{A})$}
}%
;
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\begin{itemize}
\item La somme des probabilités des branches issues d'un même noeud est égale à 1.
On a alors
\[
P(A) + P(\overline{ A }) = 1
\]
ou encore
\[
P_A(B) + P_A(C) + P_A(D) = 1
\]
\item La probabilité d'un chemin est égale au produit des probabilités des branches parcourues.
On a alors (chemin rouge)
\[
P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)
\]
Ou encore
\[
P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{ P(A) }
\]
\item La probabilité d'un évènement est égale à la somme des probabilités des chemins qui conduisent à cet évènement.
C'est la loi des probabilités totale qui peut se traduire dans notre exemple par
\[
P(B) = P(A\cap B) + P(\overline{A} \cap B)
\]
ou
\[
P(C) = P(A\cap C) + P(\overline{A} \cap C)
\]
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{definition}[ Formule de Bayes ]
Soit $A$ et $B$ deux évènements avec $P(A)$ non nul, Alors
\[
P_A(B) = \frac{P_B(A) \times P(B)}{P(A)}
\]
\end{definition}
\paragraph{Démonstration} \afaire{Démontrer la formule de Bayes à partir de la formule $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{ P(A) }$.}
\paragraph{Exemple}
En utilisant les données et les notations de le l'exemple précédent, calculer la probabilité d'être malade sachant que l'on est positif.
\afaire{}
\end{document}