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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{Polynômes - Racine Factoriser}
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\tribe{TST}
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\date{Novembre 2020}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\begin{exercise}[subtitle={Développer}]
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Identifier les racines des polynômes suivants puis les développer.
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = (x+4)(x-2)$
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\item $g(x) = (x-3)(x-8)$
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\item $h(x) = 2(x-4)(x-8)$
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\item $i(x) = -3(x-1)(x-6)$
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\item $j(x) = 10(x-2)(x-5)$
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\item $k(x) = 0.5(x+1)(x+9)$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Racines}]
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Les phrases suivantes sont-elles justes ou fausses? Justifier
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\begin{enumerate}
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\item La valeur $x=-1$ est une racine du polynôme $f(x) = 3x^2-2x-3$.
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\item La valeur $x=3$ est une racine du polynôme $g(x) = 5(x-3)(x+1)$.
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\item La valeur $x=4$ est une racine du polynôme $h(x) = 2x^2-2x-24$.
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\item La valeur $x=-3$ est une racine du polynôme $h(x) = 2x^2-2x-24$.
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\item Les valeurs $x=-10$ et $x=2$ sont deux racines du polynôme $i(x) = x^2+8x-20$.
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\item Les valeurs $x=-10$ et $x=2$ sont deux racines du polynôme $j(x) = (x+10)(x-2)$.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Racines et factorisation}]
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\begin{enumerate}
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\item Soient 2 fonctions polynômes du 2nd degré
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\[
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f(x) = 5x^2 - 26x + 5 \qquad g(x) = 2(x-5)(x-0.2)
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Démontrer que $x=5$ et $x=0.2$ sont 2 racines de $f$
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\item Démontrer que $x=5$ et $x=0.2$ sont 2 racines de $g$
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\item Est-ce que $f(x)$ et $g(x)$ sont égales?
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\end{enumerate}
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\item Soit $h$ une fonction polynôme du 2nd degré
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\[
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h(x) = x^2 + 2x - 15
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Tracer la représentation graphique de $f$. Conjecturer (lire sur le graphique) les valeurs des 2 racines.
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\item Démontrer que les valeurs trouvées à la questions précédentes sont bien des racines de $h(x)$.
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\item Déterminer la forme factorisée de $h(x)$
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\item En déduire, sans utiliser le graphique, le tableau de signe de $h(x)$.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Factoriser}]
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Dans cet exercice, on souhaite factoriser des polynômes du 2nd degré.
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\begin{enumerate}
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\item On veut factoriser puis étudier le signe de $f(x) = 3x^2 - 9x -30$.
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\begin{enumerate}
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\item Démontrer que 5 est une racine de $f$.
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\item Parmi les nombres suivants, quels sont ceux qui sont des racines de $f$.
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\[
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-3\qquad -2 \qquad 0 \qquad \qquad 2 \qquad 5
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\]
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\item Démontrer que $f(x)$ est égal à $3(x+2)(x-5)$.
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\item En déduire le tableau de signe de $f(x)$.
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\end{enumerate}
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\item On veut factoriser puis étudier le signe de $g(x) = 0.1x^3 - 0.2x^2 - 0.5x + 0.6$.
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\begin{enumerate}
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\item Tracer la courbe représentative de $f$ et trouver les racines de $g$
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\item Proposer une factorisation de $g$ en se basant sur les racines.
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\item Démontrer que cette factorisation est juste par un calcul.
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\item Étudier le signe de $g(x)$.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\end{document}
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