Bertrand Benjamin
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Probabilités conditionnelles - Cours}
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\date{Mars 2021}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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\setcounter{section}{1}
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\section{Arbre et probabilité conditionnelles}
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Les probabilités conditionnelles peuvent se représenter sous forme d'arbre de probabilité.
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Soit $A$ deux évènements de $E$ avec $P(A) \neq 0$ et $B$, $C$ et $D$ trois autres évènements de $E$. Alors on peut considérer l'arbre de probabilité ci-contre et on obtient les propriétés suivantes:
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\begin{minipage}{0.3\textwidth}
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\begin{tikzpicture}[grow=right, sloped, xscale=2, yscale=1.5]
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\node {.}
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child [red] {node {$A$}
|
|
child {node {$B$}
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|
edge from parent
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|
node[above] {$P_A(B)$}
|
|
}
|
|
child [black] {node {$C$}
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|
edge from parent
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|
node[above] {$P_A(C)$}
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|
}
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child [black] {node {$D$}
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|
edge from parent
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node[above] {$P_A(D)$}
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|
}
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|
edge from parent
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|
node[above] {$P(A)$}
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|
}
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|
child[missing] {}
|
|
child[missing] {}
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|
child { node {$\overline{A}$}
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|
child {node {$B$}
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edge from parent
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node[above] {$P_{\overline{A}}(B)$}
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|
}
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child [black] {node {$C$}
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|
edge from parent
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|
node[above] {$P_{\overline{A}}(C)$}
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|
}
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|
child [black] {node {$D$}
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|
edge from parent
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|
node[above] {$P_{\overline{A}}(D)$}
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|
}
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|
edge from parent
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node[above] {$P(\overline{A})$}
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}%
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;
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|
\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.6\textwidth}
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\begin{itemize}
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\item La somme des probabilités des branches issues d'un même noeud est égale à 1.
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On a alors
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\[
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P(A) + P(\overline{ A }) = 1
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\]
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ou encore
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\[
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|
P_A(B) + P_A(C) + P_A(D) = 1
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|
\]
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\item La probabilité d'un chemin est égale au produit des probabilités des branches parcourues.
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On a alors (chemin rouge)
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\[
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|
P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)
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\]
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|
Ou encore la formule de Bayes
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\[
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|
P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{ P(A) }
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\]
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\item La probabilité d'un évènement est égale à la somme des probabilités des chemins qui conduisent à cet évènement.
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|
C'est la loi des probabilités totale qui peut se traduire dans notre exemple par
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\[
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|
P(B) = P(A\cap B) + P(\overline{A} \cap B)
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|
\]
|
|
ou
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|
\[
|
|
P(C) = P(A\cap C) + P(\overline{A} \cap C)
|
|
\]
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|
\end{itemize}
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|
\end{minipage}
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\paragraph{Exemple}~\\
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\begin{tabular}{|*{4}{p{2cm}|}c|}
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\hline
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& Moins de 20ans & entre 20 et 50 ans & Plus de 50ans & Total \\
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\hline
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Guéris & 20 & 16 & 30 & 66\\
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\hline
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Malade & 24 & 10 & 5 & 39\\
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\hline
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Total & 44 & 26 & 35 & 105\\
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\hline
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\end{tabular}
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On note
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\[
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|
A = \left\{ \mbox{Malade} \right\} \qquad P = \left\{ \mbox{Plus de 50ans} \right\} \qquad
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|
E = \left\{ \mbox{Entre 20 et 50ans } \right\} \qquad M = \left\{ \mbox{Moins de 20ans} \right\} \qquad
|
|
\]
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|
\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[sloped, xscale=2, yscale=1.5]
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|
\node {.}
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child [red] {node {$A$}
|
|
child {node {$P$}
|
|
edge from parent
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|
node[above] {...}
|
|
}
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|
child [black] {node {$E$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {...}
|
|
}
|
|
child [black] {node {$M$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {...}
|
|
}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {...}
|
|
}
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|
child[missing] {}
|
|
child[missing] {}
|
|
child { node {$\overline{A}$}
|
|
child {node {$P$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {...}
|
|
}
|
|
child [black] {node {$E$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {...}
|
|
}
|
|
child [black] {node {$M$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {...}
|
|
}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {...}
|
|
}%
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|
;
|
|
\end{tikzpicture}
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|
\end{center}
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\afaire{Compléter l'arbre avec les probabilités}
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\end{document}
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