2020-2021/TST_sti2d/05_Fonction_Exponentielle/exercises.tex

\collectexercises{banque}
\begin{exercise}[subtitle={Dérivation}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $f(x) = e^x - 1$
            \item $f(x) = -2e^{x} + x$
            \item $f(x) = (x+1)e^{x}$
            \item $f(x) = \dfrac{e^x}{2}$
            \item $f(x) = -2xe^x$
            \item $f(x) = (x^2 - x )e^x$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de signe}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $f(x) = e^x + 1$ sur $I=\R$
            \item $g(x) = (x-2)e^x$ sur $I = \R$
            \item $h(x) = (2x^2+x-3)e^x$ sur $I = \R$
            \item $i(x) = \dfrac{(2x+1)e^{x}}{4-x}$ sur $I = \intOO{-\infty}{4} \cup \intOO{4}{+\infty}$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
    Pour chacune des fonctions suivantes,trouver le domaine de définition, calculer la dérivée, étudier son signe et en déduire les variations de la fonction initiale.
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $g(x) = e^x + 3$
            \item $f(x) = (3x-1)e^{x}$
            \item $h(x) = (x^2+3x-1)e^{x}$
            %\item $g(x) = \dfrac{2xe^{x}}{x-1}$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}, step={2}, origin={Création}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
    Calculer la dérivée, étudier son signe et en déduire les variations de la fonction initiale.
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $f(x) = e^{-3x}$ , $I = \R$
            \item $g(x) = 100e^{-0.5x + 1}$ , $I=\R$
            \item $h(x) = e^{-x^2}$ , $I = \R$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Décroissance radioactive}, step={2}, origin={Création}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
    La loi de décroissance radioactive est décrite par la formule suivant où $t$ représente le temps en $s$, $N(t)$ la quantité d'éléments radioactifs et $\tau$ le temps de demi-vie en $s^{-1}$: $N(t) = N_0 \times e^{-\frac{t}{\tau}}$

    On fixe $\tau = 2$.
    \begin{enumerate}
        \item Quel est la valeur de $N_0$ si $N$ vaut 15 après 90s?
        \item Calculer $N'(t)$ la dérivée de $N(t)$.
        \item Étudier le signe de $N'(t)$ et en déduire les variations de $N(t)$.
        \item Tracer l'allure de la courbe représentative de $N(t)$.
        \item Que peut-on dire de la quantité d'éléments radioactifs après un long moment?
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Charge d'une batterie}, step={2}, origin={Inspiration de l'annal Antille septembre 2019}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
    On souhaite charger une batterie de 22kWh. Le profil de charge est décrit par le fonction $c(t) = 22 - 22e^{-0.55t}$ où $t$ décrit le temps en heure.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer et interpréter $c(0)$.
        \item Calculer $C'(t)$ la dérivée de $C(t)$.
        \item Étudier le signe de $C'(t)$ et en déduire les variations de $C(t)$.
        \item Tracer l'allure de la représentation graphique de $C(t)$.
        \item Est-il possible de charger entièrement la batterie?
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Calculs techniques de primitives}, step={3}, origin={}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
    Pour chaque fonctions suivantes, identifier $u$, calculer $u'$ puis déterminer une primitive de la fonction.
    \begin{multicols}{4}
        \begin{enumerate}
            \item $f(x) = 5e^{5x}$
            \item $g(x) = -0.4e^{-0.4x+1}$

            \item $h(x) = 6e^{2x-2}$
            \item $i(x) = -10e^{5x}$

            \item $j(x) = e^{5x}$
            \item $k(x) = e^{-0.5x}$

            \item $l(x) = xe^{x^2}$
            \item $m(x) = xe^{2x^2 - 3}$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Calculs d'intégrales}, step={3}, origin={}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
    \begin{multicols}{2}
        Soit $f(x) = e^{3x}$.
        \begin{enumerate}
            \item Déterminer une primitive de $f(x)$.
            \item En déduire la valeur de $\ds \int_0^{10} f(x) \; dx$
        \end{enumerate}
        \columnbreak
        Soit $g(x) = e^{-\frac{x}{2}}$.
        \begin{enumerate}
            \item Déterminer une primitive de $g(x)$.
            \item En déduire la valeur de $\ds \int_0^{10} e^{-\frac{x}{2}} \; dx$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Poteaux éléctriques}, step={3}, origin={Depuis 148p279 Indice}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
    \begin{minipage}{0.45\textwidth}
        La hauteur (en $m$) par rapport au sol d'une ligne éléctrique est modélisée par la fonction $f$ définie sur $\intFF{-50}{50}$ par
        \[
            f(x) =  11(e^{0.01x} + e^{-0.01x})
        \]
        \begin{enumerate}
            \item À quelle hauteur du poteau électrique le câble est-il accroché? On arrondira le résultat au dixième de mètre.
            \item Déterminer une primitive de $f(x)$.
            \item Calculer la quantité $\ds \int_{-50}^{50} f(x) \;dx$ et représenter cette quantité sur le schéma.
            \item En déduire l'air de la surface grisée.
            \item Quelle est la hauteur moyenne de la ligne électrique?
        \end{enumerate}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{0.55\textwidth}
        \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.75, yscale=0.8]
            \tkzInit[xmin=-60,xmax=60,xstep=10,
            ymin=0,ymax=35,ystep=5]
            \tkzGrid
            \tkzAxeXY

            \draw (0, 0) node [above right] {sol};
            \draw[very thick] (-5, 0) -- node [midway, right] {Poteau} (-5, 5);
            \draw[very thick] (5, 0) -- node [midway, left] {Poteau} (5, 5);

            \tkzFct[domain=-50:50,color=blue,very thick]%
            {11*(exp(0.01*\x) + exp(-0.01*\x))}
            \draw (1.5, 4) node [above right] {Ligne éléctrique};

            \tkzFct[domain=-50:50]{25}

            \tkzDrawAreafg[between= b and a, color = gray!50,domain = -50:50]
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}
\end{exercise}
\collectexercisesstop{banque}