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15 KiB
TeX
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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% Title Page
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\title{DM1 \hfill SAVIN Lou-Ann}
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\tribe{Maths complémentaires}
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\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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\begin{document}
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\maketitle
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Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
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\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
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\begin{minipage}{0.6\textwidth}
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On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $4m^3$. La longueur est aussi fixée à $2m$ par le cahier des charges.
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On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.3\textwidth}
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\begin{tikzpicture}
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\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
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\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
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\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
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\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
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\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$2m$} -- cycle;
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\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\begin{enumerate}
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\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
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\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{2}{x}$.
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\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
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\[
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S(x) = 4x + 4 + \frac{8}{x}
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\]
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\item Démontrer que
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\[
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S(x) = \frac{4x^2 + 4x + 8}{x}
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\]
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\item Démontrer que
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\[
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S'(x) = \frac{4x^2 - 8}{x^2}
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\]
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\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
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\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
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\begin{itemize}
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\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=4$, $h$ doit être égale à $2 / 2$
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\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=4$, $h$ doit être égale à $2 / 3$
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\end{itemize}
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\item Pour calculer le volume, on a
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\begin{eqnarray*}
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V &=& h\times x \times 2 \\
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4 &=& h\times x \times 2 \\
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x &=& \frac{4}{h\times 2} = \frac{2}{h}
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\end{eqnarray*}
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\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
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\begin{eqnarray*}
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S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times2\times2 + h\times 2\times 2\\
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S(x) &=& x\times \frac{2}{x} \times 2 + x\times2\times2 + \frac{2}{x}\times 2\times 2\\
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||
S(x) &=& 4x + 4 + \frac{8}{x}
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\end{eqnarray*}
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\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
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\begin{eqnarray*}
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S(x) &=& 4x + 4 + \frac{8}{x}\\
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S(x) &=& \frac{4x\times x}{x} + \frac{4\times x}{x} + \frac{8}{x}\\
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||
S(x) &=& \frac{4x^2 + 4x + 8}{x}
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||
\end{eqnarray*}
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\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
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\[
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u(x) = 4x^2 + 4x + 8 \Rightarrow u'(x) = 8x + 4
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\]
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\[
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v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
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\]
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Donc au numérateur on obtient
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\begin{eqnarray*}
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u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (8x + 4)\times x - (4x^2 + 4x + 8)\times 1\\
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&=& 4x^2 - 8
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\end{eqnarray*}
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Donc
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\[
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S'(x) = \frac{4x^2 - 8}{x^2}
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\]
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\item Tableau de variations de $S$
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\begin{itemize}
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\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
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\item Signe de $4x^2 - 8$: c'est un polynôme du 2e degré
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\[
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\Delta = 128 > 0
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\]
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Il y a donc 2 racines
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\[
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x_1 = - 1.4142135623730951 \qquad
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x_2 = 1.4142135623730951
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\]
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Et on sait que $4x^2 - 8$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
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\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
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||
\item Tableau de variations
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\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
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\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$4x^2 - 8$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 1.4142135623730951$, $10$}
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\tkzTabLine{d,-, z, +, }
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\tkzTabLine{d,+, , +, }
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||
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
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\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
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\end{tikzpicture}
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\end{itemize}
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\item On a donc une surface minimal pour $x=1.4142135623730951$ et $h = 2.8284271247461902$.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
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Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par
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\[
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||
f(x) = \left(- x^{2} + 2.2 x - 5.8\right) e^{- x} + 5.8
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||
\]
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||
On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
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\begin{enumerate}
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||
\item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
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||
\item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
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\[
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||
F(x) = 5.8 x + \left( x^{2} - 0.2 x + 5.6\right) e^{- x}
|
||
\]
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||
\item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
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||
\item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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||
\item
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\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
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\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
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||
ymin=0,ymax=10,ystep=1]
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\tkzGrid
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||
\tkzAxeXY
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\tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
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{ (-x**2 + 2.2*x - 5.8)*exp(-x) + 5.8 };
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||
\end{tikzpicture}
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||
\item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
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\item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = \frac{20.8}{e^{4}} + 17.6$
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||
\item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à
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\[
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||
(\frac{20.8}{e^{4}} + 17.6)\times 4 \times 15^2 = 16183.00000
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||
\]
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||
\end{enumerate}
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||
\end{solution}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
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\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
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\bigskip
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\begin{minipage}{0.6\linewidth}
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\textbf{Partie A}
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\medskip
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Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
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L'atelier A fabrique 93.0\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 62.0\,\% possèdent un défaut de fabrication.
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||
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||
De plus, 1.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
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||
Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
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On considère les évènements suivants:
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\begin{itemize}
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\item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
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\item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
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||
\item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
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\end{itemize}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.4\linewidth}
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[sloped]
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\node {.}
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child {node {$A$}
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||
child {node {$D$}
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||
edge from parent
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||
node[above] {...}
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||
}
|
||
child {node {$\overline{D}$}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
|
||
}
|
||
edge from parent
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||
node[above] {...}
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||
}
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||
child[missing] {}
|
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child { node {$B$}
|
||
child {node {$D$}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
|
||
}
|
||
child {node {$\overline{D}$}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
|
||
}
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||
edge from parent
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||
node[above] {...}
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} ;
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||
\end{tikzpicture}
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||
\end{center}
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||
\end{minipage}
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||
\medskip
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||
\begin{enumerate}
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||
\item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
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\item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
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|
||
\item
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||
\begin{enumerate}
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||
\item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
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||
\item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.59$.
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||
\end{enumerate}
|
||
\item On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
|
||
\end{enumerate}
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||
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||
\bigskip
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||
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||
\textbf{Partie B}
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||
\medskip
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||
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||
Dans cette partie, on suppose que 59.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
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L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
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||
Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
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On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
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||
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||
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
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||
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||
\medskip
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||
\begin{enumerate}
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||
\setcounter{enumi}{4}
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||
\item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
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||
\item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 11)$.
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||
\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
|
||
\item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
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||
\end{enumerate}
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||
\pagebreak
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||
\end{exercise}
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||
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||
\begin{solution}
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||
\begin{enumerate}
|
||
\item
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||
\begin{center}
|
||
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||
\node {.}
|
||
child {node {$A$}
|
||
child {node {$D$}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {0.62}
|
||
}
|
||
child {node {$\overline{D}$}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {0.38}
|
||
}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {0.93}
|
||
}
|
||
child[missing] {}
|
||
child { node {$B$}
|
||
child {node {$D$}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {0.16}
|
||
}
|
||
child {node {$\overline{D}$}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {0.84}
|
||
}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {0.07}
|
||
} ;
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\end{center}
|
||
\item
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
|
||
\[
|
||
P(A) = 0.93
|
||
\]
|
||
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
|
||
\[
|
||
P(B) = 0.07
|
||
\]
|
||
\item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
|
||
\[
|
||
P_A(D) = 0.62
|
||
\]
|
||
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
|
||
\[
|
||
P(D \cap D) = 0.01
|
||
\]
|
||
\end{itemize}
|
||
\item
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
|
||
\[
|
||
P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.93 \times 0.62 = 0.58
|
||
\]
|
||
\item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
|
||
\[
|
||
P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.58 + 0.01 = 0.59
|
||
\]
|
||
\end{enumerate}
|
||
\item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
|
||
\[
|
||
P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.58}{0.59} = 0.98
|
||
\]
|
||
\item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=13$ et $p=0.59$.
|
||
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||
\[
|
||
P(X = 11) = \coefBino{13}{11}\times 0.59^{11} \times 0.41^{2}
|
||
\]
|
||
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||
|
||
Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
|
||
\[
|
||
P(X = 0) = \coefBino{13}{0}\times 0.59^{0} \times 0.41^{13}
|
||
\]
|
||
Puis comparer ce nombre à 0,5.
|
||
\item Il faut calculer l'espérance
|
||
\[
|
||
E[X] = n\times p = 13 \times 0.59 = 7.67
|
||
\]
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{solution}
|
||
|
||
\end{document}
|
||
|
||
%%% Local Variables:
|
||
%%% mode: latex
|
||
%%% TeX-master: "master"
|
||
%%% End:
|