Bertrand Benjamin
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TeX
\collectexercises{banque}
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\begin{exercise}[subtitle={Stylos}, points=10, tribe={1}, type={Exercise}]
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\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
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\bigskip
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\begin{minipage}{0.6\linewidth}
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\textbf{Partie A}
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\medskip
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Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
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L'atelier A fabrique 60\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 5\,\% possèdent un défaut de fabrication.
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De plus, 1\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
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Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
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On considère les évènements suivants:
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\begin{itemize}
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\item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
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\item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
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\item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
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\end{itemize}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.4\linewidth}
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[sloped]
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\node {.}
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child {node {$A$}
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child {node {$D$}
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edge from parent
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node[above] {...}
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}
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child {node {$\overline{D}$}
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edge from parent
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node[above] {...}
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}
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edge from parent
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node[above] {...}
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}
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child[missing] {}
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child { node {$B$}
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child {node {$D$}
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edge from parent
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node[above] {...}
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}
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child {node {$\overline{D}$}
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edge from parent
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node[above] {...}
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}
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edge from parent
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node[above] {...}
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} ;
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\end{minipage}
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
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\item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
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\item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0,04$.
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\end{enumerate}
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\item On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
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\end{enumerate}
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\bigskip
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\textbf{Partie B}
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\medskip
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Dans cette partie, on suppose que 4\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
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L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
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Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
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On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
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On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\setcounter{enumi}{3}
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\item Préciser les paramètres de cette loi binomiale.
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\item On donne le triangle de Pascal suivant
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\begin{tabular}{|*{7}{p{0.8cm}|}}
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\hline
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n \verb|\| k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
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\hline
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0 & 1 & & & & &\\
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\hline
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1 & 1 & 1 & & & &\\
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\hline
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2 & 1 & 2 & 1 & & &\\
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\hline
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3 & 1 & 3 & 3 & 1 & &\\
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\hline
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4 & 1 & 4 & 6 & 4 & 1 &\\
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\hline
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5 & 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1\\
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\hline
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\end{tabular}
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Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 4)$.
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\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
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\item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
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\end{enumerate}
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\pagebreak
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Chiffre d'affaires mondial}, points=8, tribe={1}, type={Exercise}]
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Le tableau suivant donne le chiffre d'affaires mondial d'une entreprise entre 2010 et 2016 en millions d'euros.
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\begin{center}
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\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
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Année &2010 &2011 &2012 &2013 &2014 &2015 &2016\\ \hline
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Rang de l'année $x_i$ & 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline
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Chiffre d'affaires $y_i$
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(en millions d'euros) &18,3 &20,1 &23,3 &25,3 &27,8 &30,6 &32,4\\ \hline
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\end{tabularx}
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\end{center}
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\medskip
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\textbf{Partie A : étude d'un premier modèle}
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\item Sur le graphique donné à la fin de l'exercice , représenter le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ pour $i$ variant de $0$ à $6$.
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\item
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\begin{enumerate}
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\item À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au centième.
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Dans la suite, on choisit la droite d d'équation $y = 2,4x + 18,1$ comme ajustement affine du nuage de points.
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\item Tracer la droite $d$ sur le même graphique donné en annexe.
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\end{enumerate}
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\item En supposant que cet ajustement demeure valable pendant plusieurs années, donner par lecture graphique le chiffre d'affaires de cette entreprise en 2020. Arrondir au million près.
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\end{enumerate}
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\medskip
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\textbf{Partie B : étude d'un second modèle}
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\setcounter{enumi}{4}
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\item Déterminer, à l'aide du tableau, le taux d'évolution global du chiffre d'affaires de l'entreprise entre 2010 et 2016. On exprimera le résultat en pourcentage arrondi au centième.
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\item Déterminer le taux d'évolution moyen annuel entre 2010 et 2016, exprimé en pourcentage arrondi à l'entier le plus proche.
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\item On suppose que le taux d'évolution annuel sera de 10\,\% entre 2016 et 2020. Estimer le chiffre d'affaires de l'entreprise en 2020. Arrondir au million près.
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\end{enumerate}
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\bigskip
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
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\tkzInit[xmin=0,xmax=12,xstep=1,
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ymin=0,ymax=52,ystep=2]
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\tkzDrawX[label=Rang de l'année, above=10pt]
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\tkzLabelX
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\tkzDrawY[label=Chiffre d'affaire en millions d'euros, right=15pt]
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\tkzLabelY
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\tkzGrid
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\end{exercise}
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\collectexercisesstop{banque}
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