Bertrand Benjamin
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TeX
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TeX
\collectexercises{banque}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de signe d'un polynôme factorisé}, step={1}, origin={Créatoin}, topics={Etude Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
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Tracer le tableau de signe des polynômes suivants
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = 2x + 3$
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\item $g(x) = 4(-x + 2)$
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\item $h(x) = -3(4 - 5x)$
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\item $i(x) = (2x - 1)(3x + 2)$
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\item $j(x) = (5x + 3)(-2x - 6)$
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\item $k(x) = 0.5(4x - 12)(-x + 1)$
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\item $l(x) = 3(x + 2)(x - 5)$
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\item $m(x) = -2(-x + 2)(-2x + 2)$
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\item $n(x) = -0.1(6x - 5)(0.2x + 2)$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude des variations d'un polynôme de degré 3 pas à pas}, step={1}, origin={Créatoin}, topics={Etude Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
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On cherche à étudier les variations de la fonction suivante
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\[
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f(x) = x^3 + 1,5x^2 - 6x +1
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Dériver la fonction $f(x)$ et démontrer que $f'(x) = 3(x-1)(x+2)$
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\item Tracer la tableau de signe de $f'(x)$ puis en déduire les variations de $f(x)$.
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\item La fonction admet-elle un minimum? Un maximum?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude des variations d'un polynôme de degré 3 pas à pas}, step={1}, origin={Créatoin}, topics={Etude Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
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On cherche à étudier les variations de la fonction suivante
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\[
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f(x) = x^3 + 1,5x^2 - 6x +1
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Dériver la fonction $f(x)$ et démontrer que $f'(x) = 3(x-1)(x+2)$
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\item Tracer la tableau de signe de $f'(x)$ puis en déduire les variations de $f(x)$.
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\item La fonction admet-elle un minimum? Un maximum?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Profit masqués}, step={1}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
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Un usine produit chaque jours entre 0 et 50 milles masques. Une étude statistique a montré que les bénéfices pouvaient être modélisés par la fonction suivante:
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\[
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f(x) = x^3 - 96x^2+2489,25x - \np{10171,25}
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Démontrer que $f(x) = (x-5)(x-39,5)(x-51,5)$.
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\item Étudier le signe de $f(x)$.
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\item En déduire le nombre de masque que l'entreprise doit produire pour gagner de l'argent.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Vienoiseries}, step={1}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
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% Inspiré de T1CMATH00290
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Un artisan produit et vend des sachets de viennoiseries. En notant, $x$ le nombre de sachets de viennoiseries ses coûts sont calculables avec la formule suivante:
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\[
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C(x) = x^3 - 120x^2 + 10x
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Calculer le coût de production pour 75 sachets.
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\item Chaque sachet est vendu 10\euro. On rappelle que les bénéfices se calculent en faisant la différence (la soustraction) des recettes et des coûts.
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\begin{enumerate}
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\item On suppose que l'on vend 50 lots. Calculer les recettes, les coûts puis les bénéfices.
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\item Justifier que le bénéfice se calcule alors avec la formule suivante:
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\[
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B(x) = - x^3 + 120x^2
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\]
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\item Démontrer que $B(x)$ peut s'écrire
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\[
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B(x) = x^2(120-x)
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\]
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\item Étudier le signe de $B(x)$.
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\item En déduire la production maximal avant que l'artisan commence à perdre de l'argent.
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\end{enumerate}
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\item Recherche du maximum des bénéfices.
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer $B'(x)$ la dérivée de $B(x)$.
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\item Montrer que l'on peut écrire
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\[
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B'(x) = 3x(80-x)
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\]
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\item Étudier le signe de $B'(x)$ et en déduire les variations de $B(x)$.
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\item En déduire le nombre de sachet que l'artisan doit produire pour maximiser ses bénéfices.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\collectexercisesstop{banque}
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