2020-2021/Complementaire/03_Logarithme/1B_exponentielle.tex

\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\author{Benjamin Bertrand}
\title{Logarithme - Cours}
\date{avril 2021}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\maketitle

\section{La fonction exponentielle}

\subsection*{Relation fonctionnelle}%

\begin{definition}
    Nomme $e$ le nombre d'Euler $e$ qui vaut environ $e\approx \np{2,718281828459}$.

    \noindent
    La fonction \textbf{exponentielle} est la fonction puissance de base $e$
    \[
        exp: x \mapsto e^x
    \]
    Cette fonction est définie sur $\R$.
\end{definition}


\begin{propriete}
    La fonction exponentielle partage les propriétés suivantes avec toutes les fonctions puissances
    \begin{itemize}
        \item Valeur particulières
            \[
                exp(0) = e^0 =  1 \qquad \qquad exp(1) = e^1 = e
            \]
        \item Relations fonctionnelles
            
            Soit $x$ et $y$ 2 nombres réels
            \[
                e^x \times e^y  = e^{x+y} \qquad \qquad
                e^{-x}  = \frac{1}{e^{x}} \qquad \qquad
                \frac{e^x}{e^y} = e^{x-y} \qquad \qquad
                (e^x)^y = e^{x\times y}
            \]
        \item Simplification des égalités

            Soit $x$ et $y$ 2 nombres réels alors
            \[
                e^x = e^y \equiv x = y
            \]

    \end{itemize}
\end{propriete}

\paragraph{Exemples}%
\begin{itemize}
    \item Simplification des expressions 
        \[
            \frac{e^2\times e^3}{e^e} =  \qquad \qquad \qquad (e^3\timese^5)^3 = 
        \]
    \item Réduction d'expressions
        \[
            (1+e^x)(1-e^x) = 
        \]
    \item Factorisation
        \[
            3 e^x + (2x-1)e^x =
        \]
    \item Équations
        \[
            e^{3x + 1} = e^{2x - 3}
        \]
\end{itemize}
\afaire{compléter les exemples}

\subsection{Dérivée}

\begin{propriete}[Dérivée de $\exp$]
La dérivée de la fonction exponentielle est elle-même. On a ainsi
\[
    \forall x \in \R \qquad \exp'(x) = \exp(x)
\]
    
En particulier c'est LA fonction puissance qui vérifie $f'(0) = 1$.
\end{propriete}


\paragraph{Exemple de calcul}

    Calcul de la dérivée de $f(x) = (2x+1)e^x$
\afaire{}

Remarque: On peut définir l'exponentielle comme la fonction qui vérifie $f'(x) = f(x)$ (on appelle ce genre de relation une équation différentielle).

On en déduit, pour tout $x \in \R$, $\exp'(x) = \exp(x)$ et $\exp(x) > 0$ alors la fonction exponentielle est \dotfill

\begin{propriete}
    Soit $x$ et $y$ deux nombres réels alors
    \[
        e^x \leq e^y \equiv x \leq y
    \]
\end{propriete}

\paragraph{Résolution d'inéquation} Résoudre l'inéquation
\[
    e^{-3x + 2} - 1 \geq 0
\]

\subsection*{Étude de la fonction}

\begin{propriete}
    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
        \begin{itemize}
            \item Elle est continue et dérivable sur $\R$
            \item Elle est strictement positive sur $\R$\\ ($\forall x \in \R \; e^x > 0$)
        \end{itemize}
        \begin{tikzpicture}
            \tkzTabInit[lgt=3,espcl=5]{$x$/1,$\exp(x)=e^x$/2}%
            {$-\infty$, $+\infty$}%
            \tkzTabVar{-/, +/}%
        \end{tikzpicture}
        \[
            \lim_{x \rightarrow - \infty} e^x = \cdots
            \qquad \qquad
            \lim_{x \rightarrow + \infty} e^x = \cdots
        \]
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{0.4\textwidth}
        \begin{tikzpicture}[yscale=0.8, xscale=0.8]
            \tkzInit[xmin=-5,xmax=2,xstep=1,
            ymin=0,ymax=5,ystep=1]
            \tkzGrid
            \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
            \tkzFct[domain = -5:2, line width=1pt]{exp(x)}
            \tkzText[draw,fill = brown!20](-3,1){$f(x)=\text{e}^{x}$}
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}
\end{definition}

\subsection*{Dérivée de fonctions composées avec l'exponentielle}

\begin{propriete}
Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. 

Alors la fonction $f:x\mapsto e^{u(x)}$ est aussi dérivable sur $I$ et sa dérivée est
\[
    f'(x) = u'(x)\times e^{u(x)}
\]
\end{propriete}

\subsection*{Exemple}

Calcul de la dérivée de $f(x) = e^{-0.1x}$

\afaire{}

Calcul de la dérivée de $f(x) = (2x+1)e^{-0.1x}$

\afaire{}
\end{document}