Bertrand Benjamin
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Loi binomiale
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:date: 2021-01-20
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:modified: 2021-03-04
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:authors: Benjamin Bertrand
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:tags: Probabilité, Binomiale, Tableur
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:category: TST
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:summary: Redécouverte de la loi binomiale
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Étape 1: Représentation avec des arbres
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Des situations qu'il faut représenter avec des arbres. Toutes les situations ne correspondent pas à la loi binomiale pour ne pas tomber dans la routine. On donne l'exercice aux élèves qui aller chercher dans leurs souvenir pour faire ces arbres. Assez rapidement, on prend un élève qui a réussi pour venir expliquer comment il fait au tableau et débloquer les élèves sans idées.
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Une fois que les arbres sont réalisés (on essayera de tous les faire rentrer sur le tableau). On les compare et extrait ceux qui correspondent à un arbre de loi binomiale pour en fait l'anatomie.
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Les élèves peuvent ensuite créer leur situation modélisable par une loi binomiale.
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.. image:: ./1E_arbres.pdf
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:alt: Situations représentable par un arbre mais pas forcement modélisable par la loi binomiale.
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Bilan: définition de la loi binomiale et représentation par un arbre.
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.. image:: ./1B_definition.pdf
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:alt: définition de la loi binomiale et représentation par un arbre.
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Étape 2: Calculer des probabilités avec des arbres
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Lors de la lecture du bilan, on donnera la méthode pour calculer des probabilités en utilisant l'arbre mais on expliquera que cette méthode sera ensuite améliorée.
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.. image:: ./2E_loi_binomiale.pdf
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:alt: Exercices où l'on utilise les arbres pour calculer des probabilités avec la loi binomiale
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Étape 3: Étude des nombres de chemins
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On commence par un travail technique où il est demandé construire le tableau de la loi de probabilités à partir des paramètres de la loi binomiale. On demande aux élèves de rentrer les calculatrices et d'écrire le calcul qu'ils demanderaient à la calculatrice. On précise aussi que dès que c'est possible, ils doivent essayer de ne pas faire l'arbre de probabilités pour construire leur tableau.
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.. image:: ./3E_coef_bino.pdf
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:alt: Tracer des arbres de probabilités et découverte de la formule pour calculer des probabilités.
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Bilan du premier exercice: La formule des probabilités est donnée sans évoquer les coefficients binomiaux. Puis on explique que le "nombre de chemins" est appelé coefficient binomial et l'on réécrit la formule de probabilités.
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.. image:: ./3B_coef_bino.pdf
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:alt: formule de probabilité et introduction des coefficients binomiaux.
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Étape 4: Triangle de Pascal
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Rangement des coefficients binomiaux dans un tableau et réflexion sur comment calculer les suivants
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.. image:: ./4E_triangle_pascal.pdf
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:alt: Triangle de Pascal
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Bilan: formules de calculs, triangle de Pascal et calcul de probabilité.
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.. image:: ./4B_triangle_pascal.pdf
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:alt: Bilan sur le triangle de Pascal.
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Étape 5: Exercices d'applications
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.. image:: ./5E_application.pdf
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:alt: Application de la loi binomiale.
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On laisse les élèves calculer l'espérance sans la formule et on introduit la formule spécifique à la loi binomiale.
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Cours/Bilan: L'espérance d'une loi binomiale.
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.. image:: ./5B_esperance.pdf
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:alt: formule pour calculer des probabilités et l'espérance d'une loi binomiale
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