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\collectexercises{banque}
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\begin{exercise}[subtitle={Situations}, step={1}, origin={Créations}, topics={Somme suites}, tags={Suites, analyse, tableur, python}]
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Choisir une situation parmi celles proposées ci-dessous. Vous devrez interroger ces situations de façon pertinente et produire un dossier apportant les réponses à ces questions.
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\begin{enumerate}[leftmargin=*]
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\item Une entreprise propose à ses employés deux primes étalées sur 3ans.
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\begin{itemize}
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\item Prime 1: 100\euro le premier mois puis la prime augmente de 2\euro par mois.
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\item Prime 2: 90\euro le premier mois puis la prime augmente de 2,5\% par mois.
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\end{itemize}
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\item Le gouvernement annonce investir 2miliard d'euros dans la santé sur 10 ans. Il envisage deux modèles
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\begin{itemize}
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\item Modèle 1: 100 millions d'euro d'investissement la première année puis l'investissement augmente de 30 millions d'euros par ans.
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\item Modèle 2: 50 millions d'euro d'investissement la première année puis l'investissement augmente de 30\% par ans.
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\end{itemize}
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\item Un accord contraint les usines a ne pas pouvoir rejeter plus de 10 milions de tonnes de produits chimique dans un fleuve sur 3ans. Voici deux plans de réduction des rejets:
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\begin{itemize}
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\item Usine 1: \np{400 000} tonnes de rejets par mois puis une diminution de ces rejets de \np{2000} tonnes par mois.
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\item Usine 1: \np{500 000} tonnes de rejets par mois puis une diminution de ces rejets de 4\% par mois.
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\end{itemize}
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\item Une entreprise de technologie propose deux services qui sont amenés à évoluer différemment. Elle cherche à prévoir la capacité de stockage pour l'année.
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\begin{itemize}
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\item Service 1: dépôt de 200To en janvier puis une hausse de 15To par mois.
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\item Service 2: dépôt de 50To en janvier puis une hausse de 35\% par mois.
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\end{itemize}
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\item On compare la population de deux villes sur 10 ans qui est initialement de \np{20 000} habitants. Seul l'évolution démographique est différente.
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\begin{itemize}
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\item Ville 1: 150 naissances la première année puis une augmentation de 20 naissances tous les ans.
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\item Ville 2: 100 naissances la première année puis une augmentation de 15\% tous les ans.
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\end{itemize}
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\end{enumerate}
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\paragraph{Barème}
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\begin{itemize}
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\item (raisonner) Pertinence des questions posées \dotfill 1pt
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\item (communiquer) Clarté des explications \dotfill 1pt
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\item (modélisation) Choix des outils mathématiques utilisés\dotfill 1pt
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\item (représenter) Schémas pour illustrer \dotfill 1pt
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\item (raisonner) Rigueur des explications apportés \dotfill 1pt
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\item (calculs) Justesse des calculs \dotfill 2pts
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\item (représenter) Graphiques des évolutions \dotfill 1pt
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\item (communiquer) Description des évolutions \dotfill 1pt
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\item (communiquer) Algorithmes \dotfill 1pt
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\end{itemize}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Technique}, step={2}, origin={Créations}, topics={Somme suites}, tags={Suites, analyse}]
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Expliciter puis calculer la somme $\ds \sum_{n=0}^{20}u_n$ pour les suites suivantes
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\begin{enumerate}
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\item $(u_n)$ arithmétique de raison $r=3$ et de premier terme $u_0 = 1$
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\item $(u_n)$ arithmétique de raison $r=-2$ et de premier terme $u_0 = 50$
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\item $(u_n)$ géométrique de raison $q=1.5$ et de premier terme $u_0 = 10$
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Consommation de cigarettes}, step={2}, origin={Créations}, topics={Somme suites}, tags={Suites, analyse}]
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Bob décide d'arrêter de fumer au premier janvier. Il décide de le faire progressivement. Il sait qu'il consomme 140 cigarettes par semaine. Il souhaite alors partir de ce point la première semaine puis de diminuer chaque semaine de 20 cigarettes. On note $(u_n)$ le nombre de cigarette que Bob projeté de fumer par semaine.
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\begin{enumerate}
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\item Quelle est la nature de la suite $(u_n)$? Préciser ses paramètres. Expliciter la formule de récurrence et la formule explicite.
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\item Combien de temps faudra-il à Bob pour arrêter de fumer?
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\item Combien de cigarettes aura-t-il fumé en tout depuis qu'il aura décidé d'arrêter?
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\item Écrire une algorithme qui calcule le nombre total de cigarettes fumées.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Mégot de cigarettes}, step={2}, origin={Créations}, topics={Somme suites}, tags={Suites, analyse}]
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Pour rendre sa ville plus agréable et lutter contre les mégots jetés par terre. Le maire d'une commune dépose un arrêté prévoyant une amende de 160\euro en cas de flagrant délie. Cette mesure est sensé faire diminuer le nombre de mégots jetés par terre de 15\% par an. Il était temps, en 2019, les agents publiques en avait ramassé \np{20000}.
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\begin{enumerate}
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\item On note $(u_n)$ la suite modélisant le nombre de mégots jeté par terre en 1 ans à partir de l'année 2019. Décrire la suite $(u_n)$.
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\item Combien d'années faudra-t-il attendre pour que le nombre de mégots jetés par an passent en dessous de 100.
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\item Combien de mégots auront été alors jeté depuis la mise en place de l'arrêté?
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\item Proposer une algorithme qui calculer le nombre total de mégots jeté jusqu'à ce que le nombre de mégots jetés par an passe en dessous de 100.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={PIB par habitant}, step={4}, origin={Métropole STMG septembre 2020}, topics={Somme suites}, tags={Suites, analyse}]
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Le tableau ci-dessous donne le PIB par habitant des États-Unis, exprimé en standard de pouvoir PIB par habitant des États-Unis (en SPA), pour les années de 2012 à 2018.
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\begin{center}
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\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
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Année&2012& 2013& 2014& 2015&2016&2017& 2018\\ \hline
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PIB par habitant des États-Unis d'achat (en SPA)&\np{38900} & \np{38900} & \np{40500} & \np{42600} & \np{42000}& \np{42200}& \np{44300}\\ \hline
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\multicolumn{8}{r}{\footnotesize Source: https ://ec.europa.eu/eurostat/}
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\end{tabularx}
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\end{center}
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\begin{enumerate}
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\item Calculer le taux d'évolution global du PIB par habitant des États-Unis entre 2012 et 2018. Le résultat sera exprimé en pourcentage et arrondi au centième.
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\item Calculer le taux d'évolution moyen annuel du PIB par habitant des États-Unis entre 2012 et 2018 exprimé en pourcentage arrondi au centième.
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\item On fait l'hypothèse que le taux d'évolution moyen du PIB par habitant des États-Unis est constant et égal à 2,2\% entre 2018 et 2035.
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On modélise l'évolution du PIB par une suite géométrique $(u_n)$ de premier terme \np{44300}. Le terme $u_n$ représente ce PIB, exprimé en SPA (unité monétaire artificielle permet de gommer les différences entre les devises), pour l'année $2018+n$ où $n$ est un entier naturel.
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\begin{enumerate}
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\item Préciser la valeur de la raison de cette suite géométrique.
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\item Exprimer $u_n$ en fonction $n$
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\item D'après ce modèle, estimer le PIB par habitant en 2032.
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\item Entre 2018 et 2030, combien de SPA aura été produit par les États-Unis?
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\item En quelle année, le PIB par habitant des États-Unis aura dépassé \np{60000}?
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Papillons}, step={4}, origin={Nouvelle Calédonie STMG septembre 2020}, topics={Somme suites}, tags={Suites, analyse}]
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Tous les ans à partir de fin novembre, des volontaires d'une organisation non gouvernementale de protection de la nature parcourent les côtes de la Californie pour estimer le nombre de papillons Monarques: il s'agit d'une espèce de papillons qui viennent y passer l'hiver.
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On dispose des données suivantes:
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\begin{center}
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\begin{tabular}[]{|m{6.6cm}|*{5}{c|}}
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Année &1997&2000&2006& 2012&2019\\
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\hline
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Nombre de papillons Monarques en milliers &\np{1300} &400&200& 90&50\\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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\bigskip
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\textbf{Partie A}
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\medskip
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Dans cette partie, les résultats seront arrondis à 0,1\,\%.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer le taux d'évolution global du nombre de papillons Monarques entre 1997 et 2019.
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\item Montrer que le taux d'évolution annuel moyen du nombre de papillons Monarques entre 1997 et 2019 est $-13,8\,\%$.
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\end{enumerate}
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\bigskip
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\textbf{Partie B}
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\medskip
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On suppose qu'à partir de l'année 2019, le nombre de papillons baisse de 14\,\% chaque année.
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On décide de modéliser le nombre de papillons Monarques par une suite $(u_n)$
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Pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre de milliers de papillons Monarques pour l'année $(2019 + n)$.
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On a donc $u_0 = 50$.
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\begin{enumerate}
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\item Montrer que $u_1 = 43$.
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\item Justifier que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison 0,86.
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\item Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ en fonction de $n$.
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\item Estimer selon ce modèle le nombre de papillons Monarques en 2029. On arrondira le résultat au millier.
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\item On souhaite calculer le rang de l'année à partir duquel le nombre de papillons Monarques sera strictement inférieur à 10 milliers.
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Recopier et compléter l'algorithme suivant, afin qu'après exécution, la variable $N$ contienne la valeur recherchée.
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\begin{center}
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\begin{tabular}[]{|l|}
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\hline
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$U \leftarrow 50$\\
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$N\leftarrow 0$\\
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Tant que $U \dots $\\
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\hspace{1.5em}$U \leftarrow \dots$\\
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\hspace{1.5em}$N \leftarrow N+1$\\
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Fin Tant que\\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\collectexercisesstop{banque}
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