Bertrand Benjamin
ad364dfbc1
All checks were successful
continuous-integration/drone/push Build is passing
84 lines
2.3 KiB
TeX
84 lines
2.3 KiB
TeX
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
|
\usepackage{myXsim}
|
|
|
|
\author{Benjamin Bertrand}
|
|
\title{Complexes - Cours}
|
|
\date{septembre 2020}
|
|
|
|
\pagestyle{empty}
|
|
|
|
\begin{document}
|
|
|
|
\maketitle
|
|
|
|
\section{Forme algébrique}
|
|
|
|
\begin{bclogo}[barre=none, arrondi=0.1, logo=]{Définition}
|
|
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
|
|
Les nombres complexes sont les nombres qui s'écrivent de manière unique sous la forme
|
|
\[a+ib\]
|
|
où $a$ et $b$ sont deux nombres réels et $i$ tel que $i^2=1$.
|
|
|
|
Cette forme des nombres complexes est appelée \textbf{forme algébrique}.
|
|
|
|
$a$ est la partie \textbf{réelle} et $b$ la partie \textbf{imaginaire} du nombre complexe.
|
|
\end{minipage}
|
|
\hfill
|
|
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
|
|
\begin{tikzpicture}[yscale=.8, xscale=.8]
|
|
\repereNoGrid{-1}{4}{-1}{4}
|
|
\draw (0,0) -- (3,3) node [above right] {$M(a+ib)$};
|
|
\draw [dashed] (3,0) node [below] {$a$} -- (3,3);
|
|
\draw [dashed] (0,3) node [left] {$b$} -- (3,3);
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{minipage}
|
|
\end{bclogo}
|
|
|
|
\paragraph{Exemples:} soient $z = 2i+1$ et $z'=-i+2$ deux nombres complexes. Calculer
|
|
\begin{multicols}{3}
|
|
$zz' = $
|
|
|
|
$z+z' = $
|
|
|
|
$\dfrac{z}{z'} = $
|
|
\end{multicols}
|
|
\afaire{}
|
|
|
|
\begin{bclogo}[barre=none, arrondi=0.1, logo=]{Propriété}
|
|
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Le \textbf{conjugué} d'un nombre complexe $z = a+ib$ est
|
|
\[
|
|
\bar{z} = a - ib
|
|
\]
|
|
\item La \textbf{norme } d'un nombre complexe $z = a+ib$ est
|
|
\[
|
|
|z| = \sqrt{z\times \bar{z}} = \sqrt{a^2 + b^2}
|
|
\]
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{minipage}
|
|
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=.5]
|
|
\repereNoGrid{-4}{4}{-4}{4}
|
|
\draw (0,0) -- (3,3) node [above right] {$z = a+ib$};
|
|
\draw [dashed] (3,0) node [below] {$a$} -- (3,3);
|
|
\draw [dashed] (0,3) node [left] {$b$} -- (3,3);
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{minipage}
|
|
\end{bclogo}
|
|
|
|
\paragraph{Exemples:} en reprenant les notations de l'exemple précédent, calculer
|
|
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
$\bar{z} = $
|
|
|
|
$|z| = $
|
|
\end{multicols}
|
|
\afaire{}
|
|
|
|
\paragraph{Remarque} en physique le nombre complexe $i$ est noté $j$. Ainsi les nombres complexes sont de la forme
|
|
\[
|
|
z = a + jb
|
|
\]
|
|
\end{document}
|