2020-2021/TST_sti2d/03_Complexes/exercises.tex

\collectexercises{banque}
\begin{exercise}[subtitle={Opérations et complexes}, step={1}, origin={Création}, topics={Complexes}, tags={Complexes, Trigonométrie}]
    Soit $A$, $B$ et $C$ trois points du plan représentés par les nombres complexes suivants
    \[
        z_A = 2i + 3 \qquad \qquad z_B = -1 + i \qquad \qquad z_C = -3i
    \]
    \begin{enumerate}
        \item Construire une repère pour placer les points $A$, $B$ et $C$.
        \item Calculer les modules des trois nombres complexes. Interpréter.
        \item Faire les calculs suivants et placer les points sur le repère.
            \begin{multicols}{3}
                \begin{enumerate}
                    \item $z_D = z_A + z_B$
                    \item $z_E = \bar{z_B}$
                    \item $z_F = z_A + \bar{z_C}$

                    \item $z_G = z_B z_C$
                    \item $z_H = \bar{z_A} z_C$
                    \item $z_I = \bar{z_A} z_A$

                    \item $z_J = \frac{z_A}{z_B}$
                    \item $z_K = \frac{z_C}{z_B}$
                    \item $z_L = \frac{1}{z_B} + \frac{1}{z_C}$
                \end{enumerate}
            \end{multicols}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Impédence d'un circuit}, step={1}, origin={Création}, topics={Complexes}, tags={Complexes, Trigonométrie}]
    Soit 3 dipôles dont l'impédance est modélisée par les nombres complexes suivants
    \vspace{-0.5cm}
    \begin{multicols}{3}
        \begin{circuitikz}
            \draw (0,0) to[R, l=$Z_1$, a=$1+j$](2,0);
        \end{circuitikz}

        \begin{circuitikz}
            \draw (0,0) to[R, l=$Z_2$, a=$j$](2,0);
        \end{circuitikz}

        \begin{circuitikz}
            \draw (0,0) to[R, l=$Z_3$, a=$2-3j$](2,0);
        \end{circuitikz}
    \end{multicols}
    \vspace{-0.5cm}
    En fonction de la façon de brancher ces dipôles, l'impédance total change. Calculer l'impédance de ces assemblages.
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item 
                \begin{circuitikz}[baseline=(a.south)]
                    \draw (0,0) to[R, l=$Z_3$, a=$2-3j$](2,0) to [R, l=$Z_2$, a=$j$](4,0) to[R, l=$Z_3$, a=$2-3j$](6,0);
                \end{circuitikz}

                $Z_1 + Z_2 + Z_3 = $
            \item 
            \begin{circuitikz}[baseline=(a.south)]
                \draw (0,0) -- (1,0) -- (1, 0.75) to [R, l=$Z_1$, a=$1+j$] (3,0.75) -- (3, 0) -- (4,0);
                \draw (0,0) -- (1,0) -- (1, -0.75) to [R, l=$Z_2$, a=$j$] (3,-0.75) -- (3, 0) -- (4,0);
                \end{circuitikz}
                $\dfrac{1}{Z_1} + \dfrac{1}{Z_2} = $
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Algébrique vers trigonométrique}, step={2}, origin={Création}, topics={Complexes}, tags={Complexes, Trigonométrie}]
    Placer les points suivant sur le plan complexe puis déterminer leur module et argument.

    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
        \begin{itemize}
            \item $z_A = 2i + 4$
            \item $z_B = -2i + 1$
            \item $z_C = i$
            \item $z_D = -3i - 3$
            \item $z_E = 2i + 2\sqrt{3}$
            \item $z_F = -3i + 3$
            \item $z_G = $
            \item $z_H = $
        \end{itemize}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
    \begin{tikzpicture}[yscale=.5, xscale=.5]
        \repere{-5}{5}{-5}{5}
        \draw (-4,-1) node {$\times$} node[below left] {$G$};
        \draw (-4,4) node {$\times$} node[below left] {$H$};
    \end{tikzpicture}
    \end{minipage}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Trigonométrique vers algébrique}, step={2}, origin={Création}, topics={Complexes}, tags={Complexes, Trigonométrie}]
    Tracer un grand plan complexe puis placer les points et déterminer leur forme algébrique

    \begin{multicols}{3}
        \begin{itemize}
            \item $z_A$ avec $\theta = \pi$ et $r = 2$.
            \item $z_B$ avec $\theta = -\frac{\pi}{2}$ et $r = 3$.
            \item $z_C$ avec $\theta = \frac{3\pi}{2}$ et $r = 0.5$.

            \item $z_D$ avec $\theta = \frac{\pi}{3}$ et $r = 1$.
            \item $z_E$ avec $\theta = \frac{\pi}{6}$ et $r = 3$.
            \item $z_F$ avec $\theta = \frac{\pi}{3}$ et $r = 4$.

            \item $z_G$ avec $\theta = \frac{5\pi}{6}$ et $r = 2$.
            \item $z_H$ avec $\theta = \frac{5\pi}{3}$ et $r = 3$.
            \item $z_I$ avec $\theta = -\frac{\pi}{4}$ et $r = 2$.
        \end{itemize}
        
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Fonctions complexes}, step={3}, origin={Création}, topics={Complexes}, tags={Complexes, Fonctions}]
    Dans cet exercice, on étudie des fonctions qui manipulent des nombres complexes. On étudiera leurs effets géométriques à partir des points $A$, $B$, $C$ et $D$ définit par les nombres complexes suivants
    \[
        z_A = 1 + i \qquad
        z_B = 1 - 2i \qquad
        z_C = -3 + i \qquad
        z_D = 2 - i
    \]
    \begin{enumerate}
        \item Tracer le plan complexe et placer les points.
        \item On définit la fonction $f(z) = z + 2i + 1$
            \begin{enumerate}
                \item Calculer $z_{A'} = f(z_A)$ puis placer en rouge la point $A'$ sur le plan complexe.
                \item Faire la même chose pour $z_B$, $z_C$ et $z_D$.
                \item Décrire l'effet géométrique de la fonction $f$.
            \end{enumerate}
        \item On définit la fonction $g(z) = z - i + 2$
            \begin{enumerate}
                \item Calculer $z_{A''} = g(z_A)$ puis placer en noir la point $A''$ sur le plan complexe.
                \item Faire la même chose pour $z_B$, $z_C$ et $z_D$.
                \item Décrire l'effet géométrique de la fonction $g$.
            \end{enumerate}
        \item On définit la fonction $h(z) = 2z$
            \begin{enumerate}
                \item Calculer $z_{A'''} = g(z_A)$ puis placer en vert la point $A'''$ sur le plan complexe.
                \item Faire la même chose pour $z_B$, $z_C$ et $z_D$.
                \item Décrire l'effet géométrique de la fonction $h$.
            \end{enumerate}
        \item(*) On définit la fonction $j(z) = iz$
            \begin{enumerate}
                \item Calculer $z_{A""} = g(z_A)$ puis placer en vert la point $A""$ sur le plan complexe.
                \item Faire la même chose pour $z_B$, $z_C$ et $z_D$.
                \item Décrire l'effet géométrique de la fonction $j$.
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Transformations du plan complexe}, step={3}, origin={Création}, topics={Complexes}, tags={Complexes, Fonctions}]
    Écrire la fonction complexe qui permet de réaliser les transformations suivantes
        \begin{enumerate}
            \item La translation de 2 unités à droite et 1 unité en bas.
            \item La translation de vecteur $\vec{v} = \vectCoord{-2}{-5}$.
            \item L'homothétie de rapport 5.
            \item L'homothétie de rapport 0.1.
        \end{enumerate}
\end{exercise}


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