388 lines
17 KiB
TeX
388 lines
17 KiB
TeX
\collectexercises{banque}
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|
\begin{exercise}[subtitle={Limites de fonctions}, step={1}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}]
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\begin{tikzpicture}[yscale=.5, xscale=.8]
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\tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
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ymin=0,ymax=10,ystep=1]
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|
\tkzGrid
|
|
\tkzAxeXY
|
|
\tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{x**2}
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|
\tkzText[draw,fill = brown!20](3,1){$f(x)=x^2$}
|
|
\end{tikzpicture}
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|
\hfill
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|
\begin{tikzpicture}[yscale=0.5, xscale=1]
|
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\tkzInit[xmin=-4,xmax=4,xstep=1,
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|
ymin=-10,ymax=10,ystep=2]
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\tkzGrid
|
|
\tkzAxeXY
|
|
\tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{x**3}
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|
\tkzText[draw,fill = brown!20](1,-2){$f(x)=x^3$}
|
|
\end{tikzpicture}
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|
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\begin{tikzpicture}[yscale=1, xscale=.8]
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|
\tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
|
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ymin=0,ymax=5,ystep=1]
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|
\tkzGrid
|
|
\tkzAxeXY
|
|
\tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{exp(x)}
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\tkzText[draw,fill = brown!20](2,1){$f(x)=\text{e}^{x}$}
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|
\end{tikzpicture}
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|
\hfill
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|
\begin{tikzpicture}[yscale=1, xscale=1.5]
|
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\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
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|
ymin=-3,ymax=3,ystep=1]
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|
\tkzGrid
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|
\tkzAxeXY
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|
\tkzFct[domain = 0.01:5, line width=1pt]{log(x)}
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\tkzText[draw,fill = brown!20](2,2){$f(x)=\ln(x)$}
|
|
\end{tikzpicture}
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|
|
|
\begin{tikzpicture}[yscale=1.5, xscale=1]
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|
\tkzInit[xmin=-2,xmax=7,xstep=1,
|
|
ymin=-2,ymax=2,ystep=1]
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|
\tkzGrid
|
|
\tkzAxeXY
|
|
\tkzFct[domain = -2:8, line width=1pt]{1 - exp(-x)}
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|
\tkzText[draw,fill = brown!20](1,1.5){$f(x)=1-e^{-x}$}
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|
\end{tikzpicture}
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|
\hfill
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|
\begin{tikzpicture}[yscale=.5, xscale=.8]
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|
\tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
|
|
ymin=-5,ymax=5,ystep=1]
|
|
\tkzGrid
|
|
\tkzAxeXY
|
|
\tkzFct[domain = -5:-0.01, line width=1pt]{1/x}
|
|
\tkzFct[domain = 0.01:5, line width=1pt]{1/x}
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|
\tkzText[draw,fill = brown!20](-2,2){$f(x)=\frac{1}{x}$}
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|
\end{tikzpicture}
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|
|
|
\begin{tikzpicture}[yscale=0.5, xscale=.8]
|
|
\tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
|
|
ymin=-1,ymax=10,ystep=1]
|
|
\tkzGrid
|
|
\tkzAxeXY
|
|
\tkzFct[domain = -5:-0.01, line width=1pt]{1/x**2}
|
|
\tkzFct[domain = 0.01:5, line width=1pt]{1/x**2}
|
|
\tkzText[draw,fill = brown!20](3,3){$f(x)=\frac{1}{x^2}$}
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\hfill
|
|
\begin{tikzpicture}[yscale=1.5, xscale=.8]
|
|
\tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
|
|
ymin=-2,ymax=2,ystep=1]
|
|
\tkzGrid
|
|
\tkzAxeXY
|
|
\tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{cos(x)}
|
|
\tkzText[draw,fill = brown!20](3,1){$f(x)=\cos{x}$}
|
|
\end{tikzpicture}
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|
À l'aide des graphiques ci-dessus, déterminer graphiquement les quantités suivantes
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|
\begin{multicols}{3}
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|
\begin{enumerate}
|
|
\item
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\begin{enumerate}
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|
\item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} x^2 = $
|
|
\item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} x^2 = $
|
|
\end{enumerate}
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|
\item
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|
\begin{enumerate}
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|
\item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} x^3 = $
|
|
\item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} x^3 = $
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|
\end{enumerate}
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|
\item
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|
\begin{enumerate}
|
|
\item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} e^x = $
|
|
\item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} e^x = $
|
|
\end{enumerate}
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|
\item
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|
\begin{enumerate}
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|
\item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \ln(x) = $
|
|
\item $\ds \lim_{x\rightarrow 0} \ln(x) = $
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|
\end{enumerate}
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|
\item
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|
\begin{enumerate}
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|
\item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} 1-e^{-x} = $
|
|
\item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} 1-e^{-x} = $
|
|
\end{enumerate}
|
|
\item
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|
\begin{enumerate}
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|
\item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{1}{x} = $
|
|
\item $\ds \lim_{\substack{x\rightarrow 0 \\ <}} \frac{1}{x} = $
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|
\item $\ds \lim_{\substack{x\rightarrow 0 \\ >}} \frac{1}{x} = $
|
|
\item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x} = $
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|
\end{enumerate}
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|
\item
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|
\begin{enumerate}
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|
\item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{1}{x^2} = $
|
|
\item $\ds \lim_{\substack{x\rightarrow 0 \\ <}} \frac{1}{x^2} = $
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|
\item $\ds \lim_{\substack{x\rightarrow 0 \\ >}} \frac{1}{x^2} = $
|
|
\item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x^2} = $
|
|
\end{enumerate}
|
|
\item
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\begin{enumerate}
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|
\item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \cos(x) = $
|
|
\item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} \cos(x) = $
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|
\end{enumerate}
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|
\end{enumerate}
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|
\end{multicols}
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|
\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Découverte des limites de polynômes}, step={2}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}]
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Cet exercice se réaliser avec Géogebra. Son but est de déterminer deux règles pour calculer les limites de polynômes.
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\begin{enumerate}
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\item Limites de fonctions du type $x^n$ où $n$ est un entier non nul.
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\begin{enumerate}
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\item Régler les curseurs a, b, c, d, e et f pour obtenir le graphique de la fonction $P(x) = x$. Noter les limites en $-\infty$ et en $+\infty$.
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\item Réaliser le même travail pour les fonctions $x^2$, $x^3$, $x^4$ et $x^5$.
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\item Conjecturer les limites du tableau suivant:
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|l|*{2}{c|}}
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\hline
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$\ds \lim_{x\rightarrow ...} x^n = $ & $n$ paire & $n$ impaire\\
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\hline
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$+\infty$ & & \\
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|
\hline
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|
$-\infty$ & & \\
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\hline
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|
\end{tabular}
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\end{center}
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\end{enumerate}
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\item Simplification des limites des polynôme.
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\begin{enumerate}
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\item Régler les curseurs pour faire apparaitre la fonction $P(x) = x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$
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\item Déplacer les curseurs b, c, d, e et f. Est-ce que ces curseurs ont un impact sur les limites en $+\infty$? en $-\infty$?
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\item Proposer une façon de simplifier les calculs de limites.
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\item Faire varier le curseur a, quel est son impact sur les limites?
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Calculs de limites de polynômes}, step={2}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}]
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Calculer les limites suites
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} 2x^2 + 3x + 1 = $
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|
\item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} 2x^2 + 3x + 1 = $
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|
\item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} -4x^2 + 3x + 1 = $
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|
\item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} -4x^2 + 100 x - 4 = $
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|
\item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} 4x^3 - 3x + 100 = $
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|
\item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} -7x^5 + 6x + 0.7 = $
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|
|
|
\item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} 2x^2 - 3x^3 + 19 = $
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|
\item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} -0.1x^11 + x + 1 = $
|
|
\item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{-1}{2}x^5 + 3x + 1 = $
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|
\end{enumerate}
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|
\end{multicols}
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|
\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Calculs de limites avec polynômes et exponentielle}, step={4}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}]
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Calculer les limites suivantes
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} 3e^x$
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|
\item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} -5e^x$
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|
\item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} 2e^x + x + 1$
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|
\columnbreak
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\item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} x^2 e^x$
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\item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} (-3x + 1)e^x$
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|
\item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} (x^5 + 3x^2 + 5x) e^x$
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|
\columnbreak
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|
\item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{2x}{e^x}$
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|
\item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{5x^2 + 4x + 1}{e^x}$
|
|
\item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{-2x}{e^x} + 1$
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|
\end{enumerate}
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|
\end{multicols}
|
|
\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Taux de $CO_2$}, step={4}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}]
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On admet que cette fonction $V$, définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~690] est une solution, sur cet intervalle, de l'équation différentielle
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\[ y' + 0, 01y = 4,5\]
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|
|
|
\begin{enumerate}
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|
\item Déterminer la solution générale de l'équation différentielle $(E)$.
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|
\item Vérifier que pour tout réel $t$ de l'intervalle [0~;~690], $V(t) = \np{4950} \text{e}^{-0,01t} + 450$.
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|
\item Déterminer la limite de $V(t)$ quand $t$ tend vers $+\infty$.
|
|
\end{enumerate}
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|
\end{exercise}
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|
\begin{exercise}[subtitle={Batteries}, step={4}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}]
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|
Dans cet exercice, on s'intéresse aux batteries des voitures électriques. La charge (énergie restituable) est exprimée en kilowattheure.
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|
Conformément à l'usage commercial, on appelle capacité la charge complète d'une batterie.
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On dispose des renseignements suivants :
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\framebox{%
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\begin{minipage}{0.3\linewidth}
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\textbf{Document 1:\\ Caractéristiques des bornes de recharge}
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|
{\small
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\begin{tabular}{|*{3}{p{1.3cm}|}}
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\hline
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|
Recharge & Tension (V) & Intensité (A)\\
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\hline
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|
Normal & 230 & 16 \\
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|
\hline
|
|
Semi-rapide & 400 & 16\\
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|
\hline
|
|
Rapide & 400 & 63\\
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|
\hline
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|
\end{tabular}
|
|
}
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|
\end{minipage}}
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|
\hfill
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|
\framebox{%
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|
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
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|
\textbf{Document 2: \\
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|
Exemple de capacités de batterie}
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{\small
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|
\begin{itemize}
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|
\item Marque A: 22kWh
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|
\item Marque B: 24kWh
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|
\item Marque C: 33kWh
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|
\item Marque D: 60kWh
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|
\end{itemize}
|
|
}
|
|
\end{minipage}}
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|
\hfill
|
|
\framebox{%
|
|
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
|
|
\textbf{Document 3: \\Bon à savoir pour une batterie vide}
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|
{\small
|
|
Après 50\% de temps de charge complète, la batterie est à environ 80\% de sa capacité de charge
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|
}
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|
\end{minipage}}
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\begin{enumerate}
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|
\item La puissance de charge P d'une borne de recharge, exprimée en Watt (W), s'obtient en multipliant sa tension U, exprimée en Volt (V), par son intensité I, exprimée en Ampère (A).
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|
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|
Dans la pratique, on considère que le temps T de charge complète d'une batterie vide, exprimé en heure (h), s'obtient en divisant la capacité C de la batterie, exprimée usuellement en kilowattheure (kWh), par la puissance de charge P de la borne de recharge exprimée en kilowatt (kW).
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|
On considère une batterie de la marque D.
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|
Déterminer le temps de charge complète de cette batterie sur une borne de recharge \og Rapide \fg. Exprimer le résultat en heures et minutes.
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\item Lors du branchement d'une batterie vide de marque A sur une borne de recharge de type \og Normal \fg, la charge (en kWh) en fonction du temps (en heure) est modélisée par une fonction $f$ définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$ solution de l'équation différentielle:
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\[
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|
y' + 0,55y = 12,1
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|
\]
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|
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\begin{enumerate}
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|
\item Résoudre l'équation différentielle sur $\intOF{0}{+\infty}$
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|
\item Justifier que $f(0)=0$.
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|
\item Montrer que la fonction $f$ est définie par $f(x) = -22e^{-0,55t} + 22$
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|
\item Déterminer la limite de $f(t)$ quand $t$ tend vers $+\infty$. Interpréter le résultat dans le cadre de cet exercice.
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|
\end{enumerate}
|
|
\end{enumerate}
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|
\end{exercise}
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|
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Batteries}, step={5}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}]
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L'octane est un hydrocarbure qui entre dans la composition de l'essence.
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Lorsqu'on chauffe un mélange d'octane et de solvant dans une cuve, une réaction chimique transforme progressivement l'octane en un carburant plus performant, appelé iso-octane.
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|
La concentration d'octane, en moles par litre, dans la cuve est modélisée par une fonction $f$ du temps $t$, exprimé en minutes. On admet que cette fonction $f$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, est une solution, sur cet intervalle, de l'équation différentielle suivante:
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|
\[(E)~:~y'+0,12y=0,003.\]
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|
À l'instant $t = 0$, la concentration d'octane dans la cuve est de $0,5$~mole par litre (mol.L$^{-1}$).
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|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Déterminer la solution générale de l'équation différentielle $(E)$.
|
|
\item Donner $f(0)$.
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|
\item Vérifier que la fonction $f$ est définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(t) = 0,475\e^{-0,12t}+0,025$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\item
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Calculer la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
|
|
\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
|
|
\item Interpréter cette réponse dans le contexte de l'exercice.
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|
\end{enumerate}
|
|
\item Calculer, en justifiant votre réponse, à la minute près, le temps nécessaire pour obtenirune concentration en octane dans la cuve de $0,25$ mole par litre.
|
|
\item
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Calculer, en justifiant votre réponse, $\ds \lim_{t\to +\infty} f(t)$.
|
|
|
|
Interpréter le résultat dans le contexte.
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|
|
|
\item Le processus de transformation de l'octane en iso-octane est arrêté au bout d'une heure. Expliquer ce choix.
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|
\end{enumerate}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Batteries}, step={5}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}]
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|
\textbf{Partie A}
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\medskip
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|
|
|
On considère la fonction $w$ définie pour tout réel positif $t$ par :
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\[w(t) = 4 \text{e}^{-200t} + 146.\]
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|
|
|
On note $C$ la courbe représentative de la fonction $w$ dans un repère orthonormé.
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|
|
|
\medskip
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Calculer $w(0)$.
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|
\item Déterminer la limite de la fonction $w$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ et interpréter graphiquement cette limite.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\item On note $w'$ la fonction dérivée de la fonction $w$ sur l'intervalle
|
|
$[0~;~+ \infty[$.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Pour tout réel positif $t$, calculer $w'(t)$.
|
|
\item Étudier le signe de $w'$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
|
|
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $w$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
|
|
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse 0 .
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{enumerate}
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|
|
|
\bigskip
|
|
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|
\textbf{Partie B}
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|
|
\medskip
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|
On étudie l'évolution de la vitesse d'un moteur dont la vitesse de rotation à vide est de
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$150$~rad.s$^{-1}$.
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|
On s'intéresse à une phase particulière appelée phase d'embrayage.
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|
|
Durant cette phase, la vitesse de rotation du moteur, exprimée en rad.s$^{-1}$, est modélisée par une fonction solution de l'équation différentielle $(E)$ :
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|
|
|
\[\dfrac{1}{200}y' + y = 146\]
|
|
|
|
où $y$ désigne une fonction dérivable de la variable réelle $t$ positive et exprimée en seconde.
|
|
|
|
\medskip
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Résoudre cette équation différentielle.
|
|
\item Vérifier que la fonction $w$ étudiée dans la \textbf{partie A} est la fonction solution de l'équation différentielle $(E)$ vérifiant la condition initiale $w(0) = 150$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\item Interpréter, dans le contexte de l'exercice, la limite de $w(t)$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ ainsi que le sens de variation de la fonction $w$, déterminés dans la \textbf{partie A}.
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|
\item On considère que la vitesse de rotation du moteur, exprimée en rad.s$^{-1}$, est stabilisée
|
|
|
|
lorsque la quantité $\dfrac{w(t)-146}{146}$ est inférieure à $0,01$.
|
|
|
|
Calculer le temps mis par le moteur pour stabiliser sa vitesse. On donnera la valeur
|
|
exacte puis la valeur arrondie au millième de seconde.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\collectexercisesstop{banque}
|