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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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% Title Page
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\title{DS8 \hfill KILINC Suleyman}
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\tribe{TST sti2d}
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\date{\hfillÀ render pour le vendredi 9 avril à 10h au plus tard}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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\begin{document}
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\maketitle
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonction}]
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On considère la fonction $f$ définie sur $\intOF{0}{+\infty}$ par $ f(x) = 3.5x^2 + 21x + - 490\ln(x)$
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\begin{enumerate}
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\item Démontrer que la dérivée de $f$ est $f'(x) = \frac{7x^2 + 21x + - 490}{x}$.
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\item Étude du numérateur de $f'(x)$: $N(x) = 7x^2 + 21x - 490$
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\begin{enumerate}
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\item Démontrer que $x=- 10$ et $x=7$ sont deux racines de $N(x)$..
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\item Proposer une forme factorisée de $N(x)$.
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\item Proposer une forme factorisée de $f'(x)$.
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\end{enumerate}
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\item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item pas de correction disponible
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\item
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\begin{enumerate}
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\item \[N(- 10) = 0\]
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\[N(7) = 0\]
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\item \[
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N(x) = 7(x - - 10)(x - 7)
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\]
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\item
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\[
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f'(x) = \frac{7(x - - 10)(x - 7)}{x}
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\]
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\end{enumerate}
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\item Pas de correction disponible
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Complexes}]
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\begin{enumerate}
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\item Mettre le nombre complexe suivant sous forme algébrique $z_1 = \dfrac{5 + 7 i}{-6 + 4 i} $
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\item Mettre le complexe suivante sous forme exponentielle $z_2 = 1 - \sqrt{3} i$
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\item Mettre le complexe suivante sous forme exponentielle $z_3 = - 8 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} i$
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\item Calculer le produit $z_4=z_2\times z_3$ donner le résultat sous forme exponentielle puis algébrique.
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\item Calculer le quotient $z_5=\frac{z_2}{z_3}$ donner le résultat sous forme exponentielle puis algébrique.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item $z_1 = - \frac{1}{26} - \frac{31 i}{26}$
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\item $z_2 = 2 e^{- \frac{i \pi}{3}}$
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\item $z_3 = 16 e^{\frac{3 i \pi}{4}}$
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\item $z_4 = 32 e^{\frac{5 i \pi}{12}} = - 8 \sqrt{2} + 8 \sqrt{6} + i \left(8 \sqrt{2} + 8 \sqrt{6}\right) = 8.28 + 30.9 i$
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\item $z_5 = \frac{1}{8} e^{- \frac{13 i \pi}{12}} = - \frac{\sqrt{6}}{32} - \frac{\sqrt{2}}{32} + i \left(- \frac{\sqrt{2}}{32} + \frac{\sqrt{6}}{32}\right) = -0.121 + 0.0323 i$
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Sortie du congélateur}]
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Marie a invité quelques amis pour le thé. Elle souhaite leur proposer ses macarons maison.
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Elle les sort de son congélateur à $-19$~\degres C et les place dans une pièce à $15$~\degres C.
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Au bout de 15 minutes, la température des macarons est de $-2$~\degres C.
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\bigskip
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\textbf{Premier modèle}
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\medskip
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On suppose que la vitesse de décongélation est constante : chaque minute la hausse de
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température des macarons est la même.
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Estimer dans ce cadre la température au bout de $30$~minutes, puis au bout de $45$~minutes.
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Cette modélisation est-elle pertinente?
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\bigskip
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\textbf{Deuxième modèle}
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\medskip
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On suppose maintenant que la vitesse de décongélation est proportionnelle à la différence
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de température entre les macarons et l'air ambiant (il s'agit de la loi de Newton).
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On désigne par $\theta$ la température des macarons à l'instant $t$, et par $\theta'$ la vitesse de décongélation.
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L'unité de temps est la minute et l'unité de température le degré Celsius.
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\smallskip
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On négligera la diminution de température de la pièce et on admettra donc qu'il existe un
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nombre réel $a$ tel que, pour $t$ positif :
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\[\theta'(t) = a [\theta(t) - 15]\quad (E)\]
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\item Vérifier que l'équation $(E)$ a pour solutions $\theta(t) = K e^{at} + 15$ où $K$ est un nombre réel.
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Donner alors, en fonction de $a$, l'ensemble des solutions de $(E)$.
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\end{enumerate}
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On rappelle que la température des macarons à l'instant $t = 0$ est égale à $-19$~\degres C et que, au bout de $15$~min, elle est de $-2$~\degres C.
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\begin{enumerate}
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\setcounter{enumi}{1}
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\item En utilisant la condition à $t=0$ démontrer que $K = -34$.
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\item En utilisant la condition à $t=15$ démontrer que $a \approx -0.05$.
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\item En déduire l'expression de la solution de l'équation différentielle puis étudier ses variations.
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\item La température idéale de dégustation des macarons étant de $12$~\degres C, Marie estime que
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celle-ci sera atteinte au bout de $30$~min. A-t-elle raison ? Justifier la réponse.
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Sinon, combien de temps faudra-t-il attendre ?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\end{document}
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