2020-2021/Complementaire/01_Binomiale_et_echantillon.../1B_variables_aleatoires.tex

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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\author{Benjamin Bertrand}
\title{Binomiale et echantillonnage - Cours}
\date{octobre 2020}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\maketitle
\section{Variable aléatoire}
En mathématique, l'outil pour modéliser les situations aléatoires qui ont pour résultats un nombre (un score, un bénéfice, une quantité...) est la \textbf{variable aléatoire}.
\begin{bclogo}[barre=none, arrondi=0.1, logo=]{Définition}
Soit E lensemble des issues dune expérience aléatoire.
On définit une \textbf{variable aléatoire} sur E quand on associe à chaque issue de E un nombre réel $x_i$.
Les \textbf{événements} de lexpérience aléatoire sont alors notés $\left\{ X = x_i \right\}$ et la \textbf{loi de probabilité de $X$} est la donnée de toutes les probabilités $P(X = x_i ) = p_i$.
En générale, on résume la loi de probabilité par le tableau suivant
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|*{4}{p{2cm}|}}
\hline
Valeurs possibles ($x_i$) & $x_1$ & $x_2$ & ... & $x_n$ \\
\hline
Probabilité ($p_i$) & $p_1$ & $p_2$ & ... & $p_n$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{bclogo}
\subsubsection*{Exemples}
\begin{itemize}
\item On lance un dé à 6 faces. La variable aléatoire $X$ décrit le score obtenu.
\afaire{Faire le tableau résumant la loi de probabilité}
\item On tire au hasard une boule dans une urne contenant 5 boules bleu, 2 jaune et 4 noir. Une boule bleu rapport 1point, une jaune 5 et une noir en fait perdre 2. La variable aléatoire $X$ décrit le score obtenu.
\afaire{Faire le tableau résumant la loi de probabilité}
\end{itemize}
\begin{bclogo}[barre=none, arrondi=0.1, logo=]{Définition}
L'espérance d'une variable aléatoire $X$ est le nombre réel définit par
\[
E[X] = x_1\times p_1 + x_2\times p_2 + ... + x_n\times p_n
\]
L'espérance représente intuitivement la valeur que l'on peut espérer obtenir en moyenne si l'on répète de nombreuses fois l'expérience.
\end{bclogo}
\subsubsection*{Exemples}
On reprend les exemples précédents.
\begin{itemize}
\item
\afaire{calculer l'espérance}
\item
\afaire{calculer l'espérance}
\end{itemize}
\end{document}