196 lines
12 KiB
TeX
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\collectexercises{banque}
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\begin{exercise}[subtitle={QCM masqué}, step={1}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale, Simulation}]
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Votre professeur.e de mathématiques vous prépare un contrôle sous forme de QCM... mais vous n’avez pas assez révisé ! Vous vous apprêtez donc à répondre au hasard et espérez gagner un maximum de points.
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Établir et justifier une stratégie pour espérer obtenir la meilleure note possible.
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.8]{./fig/QCM}
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\end{center}
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Questions coup-de-pouce pour étudier chaque question:
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\begin{enumerate}
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\item Lister les possibilités: combien peut-on gagner? Perdre?
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\item Pour chaque possibilités associer une probabilité.
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\item Combien peut-on espérer gagner?
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\item A-t-on intérêt d'y répondre?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Marché noir}, step={1}, origin={Création}, topics={Variables aléatoires}, tags={Probabilité}]
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À force de confisquer les téléphones portables de ses élèves, un professeur a pu établir le tableau suivant
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\begin{center}
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\footnotesize
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\begin{tabular}[h]{|p{3cm}| *{6}{c|}}
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\hline
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Type de portable & Vieux & À clapet & Smartphone & Téléphone satellite & Tablette\\
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\hline
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Fréquence (en \%)& 10 & 5 & 50 & 5 & 30\\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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Il décide alors de ne plus les rendre en fin de cours mais de les vendre au marché noir. Il se renseigne alors sur les prix de vente:
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\begin{center}
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\footnotesize
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\begin{tabular}[h]{|p{3cm}| *{6}{c|}}
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\hline
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Type de portable & Vieux & À clapet & Smartphone & Téléphone satellite & Tablette \\ \hline
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Prix de revente (en \euro) & 11 & 11 & 150 & 200 & 250 \\ \hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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Combien peut-il espérer gagner en moyenne à chaque fois qu'il confisque un téléphone?
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Dépannages}, step={1}, origin={Indice TST}, topics={Variables aléatoires}, tags={Probabilité}]
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Un garage veut étudier ses dépannages extérieurs. Pour cela, il note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de dépannages extérieurs en une journée. La loi de cette variable aléatoire est donnée par le tableau suivant
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\begin{minipage}{0.4\textwidth}
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\begin{tabular}{|c|*{5}{c|}}
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\hline
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$x_i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
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\hline
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$P(X=x_i)$ & 0,35 & 0,25 & 0,2 & 0,12 & 0,08 \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.6\textwidth}
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\begin{enumerate}
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\item Vérifier que ce tableau est bien celui d'une variable aléatoire.
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\item Calculer les quantités suivantes $P(X < 2)$, $P(X \leq 2)$, $P(X > 5)$
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\item Calculer l'espérance de $X$ puis interpréter.
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\end{enumerate}
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\end{minipage}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Surréservation}, step={2}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale, Simulation}]
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Pour obtenir un taux de remplissage convenable, les compagnies aériennes vendent régulièrement plus de place que n'en comporte l'avion car il arrive que des personnes ne se présentent pas au décollage. Si un passagers a réservé mais qu'il n'y a plus de place dans l'avion, il faudra par contre le dédommager. C'est pour cela qu'il faut évaluer le risque de surréservation.
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On considère une ligne aérienne entre deux villes pour laquelle:
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\begin{multicols}{2}
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\begin{itemize}
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\item Tous les avions ont 50 places.
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\item 53 réservations sont vendues pour chaque vol (on supposera qu'elles sont toutes vendues)
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\item Chaque personne ayant réservé a 9 chance sur 10 de se présenter à l'embarquement ( donc 1 chance sur 10 de ne pas se présenter).
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\item Un billet vendu rapporte 100\euro. Un billet remboursé coûte 250\euro à la compagnie.
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\item Chaque personne ayant réservé une place se présente au non à l'embarquement indépendamment des autres personnes ayant réservé sur le même vol.
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\end{itemize}
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\end{multicols}
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\begin{center}
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\textbf{La compagnie prend elle un risque en vendant 53 places au lieu des 50 disponibles?}
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\end{center}
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Pour évaluer les risques liés à une surréservation, nous allons \textbf{simuler} avec le tableur plusieurs vols sur cette ligne.
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\begin{enumerate}
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\item On commence par simuler un vol où 53 places ont été vendues.
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\begin{minipage}{0.6\textwidth}
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Pour savoir si une personne se présente ou non à l'embarquement, nous utiliserons la commande \calc{=SI(ALEA()>0.9;0;1)}. Cette commande renvoie:
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\begin{itemize}
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\item 0 si le passager ne s'est pas présenté
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\item 1 s'il s'est présenté.
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\end{itemize}
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\begin{enumerate}
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\item Réaliser la simulation pour le premier vol
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\item Combien de personnes se sont-elles présentées à l'embarquement?
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\item Quelle formule peut-on rentrer en \texttt{B56} pour calculer ce nombre?
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\end{enumerate}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.4\textwidth}
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\includegraphics[scale=0.27]{./fig/vol1}
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\end{minipage}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Réaliser cette simulation pour 100 vols de cette ligne.
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\hspace{-2cm}
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\includegraphics[scale=0.17]{./fig/vol100}
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\item Quelle formule doit-on entrer en \texttt{CX56} pour calculer la moyenne du nombre de passager?
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\item Pensez vous que le risque de surréservation est grand?
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\end{enumerate}
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\item On veut maintenant évaluer le risque de surréservation. Pour savoir si un vol est en surréservation, on utilise la commande \calc{=SI(nbr_passagers > 50;1;0)} (avec \lstinline|nbr_passagers| à remplacer le nom de la case)
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\begin{enumerate}
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\item Compléter le tableau pour connaître les vols en surréservation.
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\hspace{-2cm}
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\includegraphics[scale=0.15]{./fig/vol100_overbooking}
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\item Quelle formule doit-on rentrer en \texttt{CX59} pour compter le nombre de vols en surréservation?
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\item Quelle formule doit-on entrer dans \texttt{CX61} pour calculer la fréquence des vols en surréservation?
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\end{enumerate}
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\item Répondre à la question initiale en vous basant sur les résultats de votre simulation.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Modélisation}, step={3}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
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Dans chacune des situations suivantes, dessiner l'arbre de probabilité qui décrit la situation puis expliquer si oui ou non elle peut être modélisé par une loi binomiale en précisant les paramètres.
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\begin{enumerate}
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\item Dans mon jardin j'ai planté 3 fraisiers suffisamment éloignés pour qu'ils ne se gênent pas. D'expérience, ils donnent des fruits dans 90\% des cas. Je m'intéresse au nombre de fraisier qui donneront des fruits.
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\item Bob mange à la cantine 3 fois par semaine. À chaque fois, il se demande s'il prend un dessert plutôt qu'un fromage ce qu'il fait 2 fois sur 3. On s'intéresse au nombre de fois où il a mangé du dessert en une semaine.
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\item Dans un sachet, il reste 6 bonbons: 2 à la fraise et 4 au réglisse. J'en choisi 4 au hasard et je les mange. Je m'intéresse au nombre de bonbon à la fraise que j'ai mangé.
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\item Je joue avec un dé à 6 faces. J'ai le droit à un maximum de 4 lancers. J'arrête de lancer dès que j'ai obtenu un 6. Je compte le nombre de lancer que je fais.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Création}, step={3}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
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Proposer une expérience aléatoire qui pourrait être modélisée avec une loi binomiale. Vous détaillerez ensuite les paramètres et justifierez la modélisation.
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Jeux}, step={3}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
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Bob joue à un jeu où il estime qu'il a 70\% de chance de gagner une partie. Entre 2 parties, il prend le temps de se reposer pour que la précédente partie n'influence pas la suivante.
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On note $V$ l'évènement "Bob gagne la partie".
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Bob fait 2 parties et on note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de victoire.
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\begin{enumerate}
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\item Faire un arbre qui modélise la situation.
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\item Déterminer la probabilité que Bob gagne une seule partie.
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\item Avec quelle loi peut-on modéliser la variable aléatoire $X$? Préciser les paramètres.
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\item Démontrer que l'espérance de $X$ est de 1,4.
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\item Si Bob joue tous les jours deux parties, combien en moyenne peut-il espérer en gagner quotidiennement?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Repas}, step={3}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
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Bob adore manger des légumes. Chaque jour, il choisit au hasard un fruit dans une panière quotidiennement remplie par ses parents contenant 7 bananes, 5 pommes et 2 kiwi.
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Ses parents veulent essayer de prévoir la consommation en banane de Bob sur 3 jours.
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On note donc $X$ le nombre bananes mangées par Bob sur 3 jours et $B$ l'évènement "Bob mange une banane".
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\begin{enumerate}
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\item Faire un arbre qui modélise la situation.
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\item Déterminer la probabilité que Bob gagne deux bananes.
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\item Avec quelle loi peut-on modéliser la variable aléatoire $X$? Préciser les paramètres.
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\item Calculer l'espérance de $X$. Interpréter le résultat.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Auto-école}, step={3}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
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Dans une auto-école, à chaque session 75\% des candidats réussissent à avoir leur code.
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\begin{enumerate}
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\item On interroge au hasard 4 candidats d'une session pour savoir s'ils ont eu leur code. On note $X$ variable aléatoire qui compte le nombre de réponse positive.
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\begin{enumerate}
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\item Avec quelle loi peut-on modéliser la variable aléatoire $X$? Préciser les paramètres.
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\item Calculer les probabilités suivantes
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\[
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P(X = 1) \qquad \qquad
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P(X = 4) \qquad \qquad
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P(X \leq 1)
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\]
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\item Quelle est la probabilité qu'au moins un candidat ait répondu positivement.
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\item En moyenne combien de réponses positives peut-on espérer avoir?
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\end{enumerate}
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\item Cette fois-ci, on choisit un candidat et on note $Y$ le nombre de sessions qu'il a du passer avant d'avoir code.
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\begin{enumerate}
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\item Faire un arbre pour représenter la situtation.
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\item Peut-on modéliser $Y$ avec une loi binomiale? Si oui, préciser les paramètres.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\collectexercisesstop{banque}
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