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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Logarithme - Cours}
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\date{avril 2021}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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\section{La fonction exponentielle}
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\subsection*{Relation fonctionnelle}%
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\begin{definition}
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Nomme $e$ le nombre d'Euler $e$ qui vaut environ $e\approx \np{2,718281828459}$.
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\noindent
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La fonction \textbf{exponentielle} est la fonction puissance de base $e$
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\[
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exp: x \mapsto e^x
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\]
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Cette fonction est définie sur $\R$.
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\end{definition}
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\begin{propriete}
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La fonction exponentielle partage les propriétés suivantes avec toutes les fonctions puissances
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\begin{itemize}
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\item Valeur particulières
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\[
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exp(0) = e^0 = 1 \qquad \qquad exp(1) = e^1 = e
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\]
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\item Relations fonctionnelles
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Soit $x$ et $y$ 2 nombres réels
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\[
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e^x \times e^y = e^{x+y} \qquad \qquad
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e^{-x} = \frac{1}{e^{x}} \qquad \qquad
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\frac{e^x}{e^y} = e^{x-y} \qquad \qquad
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(e^x)^y = e^{x\times y}
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\]
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\item Simplification des égalités
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Soit $x$ et $y$ 2 nombres réels alors
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\[
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e^x = e^y \equiv x = y
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\]
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\end{itemize}
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\end{propriete}
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\paragraph{Exemples}%
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\begin{itemize}
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\item Simplification des expressions
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\[
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\frac{e^2\times e^3}{e^e} = \qquad \qquad \qquad (e^3\timese^5)^3 =
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\]
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\item Réduction d'expressions
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\[
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(1+e^x)(1-e^x) =
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\]
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\item Factorisation
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\[
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3 e^x + (2x-1)e^x =
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\]
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\item Équations
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\[
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e^{3x + 1} = e^{2x - 3}
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\]
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\end{itemize}
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\afaire{compléter les exemples}
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\subsection{Dérivée}
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\begin{propriete}[Dérivée de $\exp$]
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La dérivée de la fonction exponentielle est elle-même. On a ainsi
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\[
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\forall x \in \R \qquad \exp'(x) = \exp(x)
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\]
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En particulier c'est LA fonction puissance qui vérifie $f'(0) = 1$.
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\end{propriete}
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\paragraph{Exemple de calcul}
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Calcul de la dérivée de $f(x) = (2x+1)e^x$
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\afaire{}
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Remarque: On peut définir l'exponentielle comme la fonction qui vérifie $f'(x) = f(x)$ (on appelle ce genre de relation une équation différentielle).
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On en déduit, pour tout $x \in \R$, $\exp'(x) = \exp(x)$ et $\exp(x) > 0$ alors la fonction exponentielle est \dotfill
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\begin{propriete}
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Soit $x$ et $y$ deux nombres réels alors
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\[
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e^x \leq e^y \equiv x \leq y
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\]
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\end{propriete}
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\paragraph{Résolution d'inéquation} Résoudre l'inéquation
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\[
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e^{-3x + 2} - 1 \geq 0
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\]
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\subsection*{Étude de la fonction}
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\begin{propriete}
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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\begin{itemize}
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\item Elle est continue et dérivable sur $\R$
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\item Elle est strictement positive sur $\R$\\ ($\forall x \in \R \; e^x > 0$)
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\end{itemize}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[lgt=3,espcl=5]{$x$/1,$\exp(x)=e^x$/2}%
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|
{$-\infty$, $+\infty$}%
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\tkzTabVar{-/, +/}%
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|
\end{tikzpicture}
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|
\[
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|
\lim_{x \rightarrow - \infty} e^x = \cdots
|
|
\qquad \qquad
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|
\lim_{x \rightarrow + \infty} e^x = \cdots
|
|
\]
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|
\end{minipage}
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|
\hfill
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\begin{minipage}{0.4\textwidth}
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\begin{tikzpicture}[yscale=0.8, xscale=0.8]
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\tkzInit[xmin=-5,xmax=2,xstep=1,
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ymin=0,ymax=5,ystep=1]
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\tkzGrid
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\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
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\tkzFct[domain = -5:2, line width=1pt]{exp(x)}
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\tkzText[draw,fill = brown!20](-3,1){$f(x)=\text{e}^{x}$}
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|
\end{tikzpicture}
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|
\end{minipage}
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|
\end{definition}
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\subsection*{Dérivée de fonctions composées avec l'exponentielle}
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\begin{propriete}
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Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
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Alors la fonction $f:x\mapsto e^{u(x)}$ est aussi dérivable sur $I$ et sa dérivée est
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\[
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f'(x) = u'(x)\times e^{u(x)}
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\]
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\end{propriete}
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\subsection*{Exemple}
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Calcul de la dérivée de $f(x) = e^{-0.1x}$
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\afaire{}
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Calcul de la dérivée de $f(x) = (2x+1)e^{-0.1x}$
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\afaire{}
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\end{document}
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