2020-2021/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/exercises.tex

\collectexercises{banque}
\begin{exercise}[subtitle={Limites de fonctions}, step={1}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}]
    \begin{tikzpicture}[yscale=.5, xscale=.8]
        \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
        ymin=0,ymax=10,ystep=1]
        \tkzGrid
        \tkzAxeXY
        \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{x**2}
        \tkzText[draw,fill = brown!20](3,1){$f(x)=x^2$}
    \end{tikzpicture}
    \hfill
    \begin{tikzpicture}[yscale=0.5, xscale=1]
        \tkzInit[xmin=-4,xmax=4,xstep=1,
        ymin=-10,ymax=10,ystep=2]
        \tkzGrid
        \tkzAxeXY
        \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{x**3}
        \tkzText[draw,fill = brown!20](1,-2){$f(x)=x^3$}
    \end{tikzpicture}

    \begin{tikzpicture}[yscale=1, xscale=.8]
        \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
        ymin=0,ymax=5,ystep=1]
        \tkzGrid
        \tkzAxeXY
        \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{exp(x)}
        \tkzText[draw,fill = brown!20](2,1){$f(x)=\text{e}^{x}$}
    \end{tikzpicture}
    \hfill
    \begin{tikzpicture}[yscale=1, xscale=1.5]
        \tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
        ymin=-3,ymax=3,ystep=1]
        \tkzGrid
        \tkzAxeXY
        \tkzFct[domain = 0.01:5, line width=1pt]{log(x)}
        \tkzText[draw,fill = brown!20](2,2){$f(x)=\ln(x)$}
    \end{tikzpicture}

    \begin{tikzpicture}[yscale=1.5, xscale=1]
        \tkzInit[xmin=-2,xmax=7,xstep=1,
        ymin=-2,ymax=2,ystep=1]
        \tkzGrid
        \tkzAxeXY
        \tkzFct[domain = -2:8, line width=1pt]{1 - exp(-x)}
        \tkzText[draw,fill = brown!20](1,1.5){$f(x)=1-e^{-x}$}
    \end{tikzpicture}
    \hfill
    \begin{tikzpicture}[yscale=.5, xscale=.8]
        \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
        ymin=-5,ymax=5,ystep=1]
        \tkzGrid
        \tkzAxeXY
        \tkzFct[domain = -5:-0.01, line width=1pt]{1/x}
        \tkzFct[domain = 0.01:5, line width=1pt]{1/x}
        \tkzText[draw,fill = brown!20](-2,2){$f(x)=\frac{1}{x}$}
    \end{tikzpicture}

    \begin{tikzpicture}[yscale=0.5, xscale=.8]
        \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
        ymin=-1,ymax=10,ystep=1]
        \tkzGrid
        \tkzAxeXY
        \tkzFct[domain = -5:-0.01, line width=1pt]{1/x**2}
        \tkzFct[domain = 0.01:5, line width=1pt]{1/x**2}
        \tkzText[draw,fill = brown!20](3,3){$f(x)=\frac{1}{x^2}$}
    \end{tikzpicture}
    \hfill
    \begin{tikzpicture}[yscale=1.5, xscale=.8]
        \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
        ymin=-2,ymax=2,ystep=1]
        \tkzGrid
        \tkzAxeXY
        \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{cos(x)}
        \tkzText[draw,fill = brown!20](3,1){$f(x)=\cos{x}$}
    \end{tikzpicture}

    À l'aide des graphiques ci-dessus, déterminer graphiquement les quantités suivantes

    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item 
                \begin{enumerate}
                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} x^2 = $
                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} x^2 = $
                \end{enumerate}
            \item 
                \begin{enumerate}
                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} x^3 = $
                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} x^3 = $
                \end{enumerate}
            \item 
                \begin{enumerate}
                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} e^x = $
                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} e^x = $
                \end{enumerate}
            \item 
                \begin{enumerate}
                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \ln(x) = $
                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow 0} \ln(x) = $
                \end{enumerate}
            \item 
                \begin{enumerate}
                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} 1-e^{-x} = $
                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} 1-e^{-x} = $
                \end{enumerate}
            \item 
                \begin{enumerate}
                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{1}{x} = $
                    \item $\ds \lim_{\substack{x\rightarrow 0 \\ <}} \frac{1}{x} = $
                    \item $\ds \lim_{\substack{x\rightarrow 0 \\ >}} \frac{1}{x} = $
                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x} = $
                \end{enumerate}
            \item 
                \begin{enumerate}
                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{1}{x^2} = $
                    \item $\ds \lim_{\substack{x\rightarrow 0 \\ <}} \frac{1}{x^2} = $
                    \item $\ds \lim_{\substack{x\rightarrow 0 \\ >}} \frac{1}{x^2} = $
                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x^2} = $
                \end{enumerate}
            \item 
                \begin{enumerate}
                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \cos(x) = $
                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} \cos(x) = $
                \end{enumerate}
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Découverte des limites de polynômes}, step={2}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}]
    Cet exercice se réaliser avec Géogebra. Son but est de déterminer deux règles pour calculer les limites de polynômes.
    \begin{enumerate}
        \item Limites de fonctions du type $x^n$ où $n$ est un entier non nul.
            \begin{enumerate}
                \item Régler les curseurs a, b, c, d, e et f pour obtenir le graphique de la fonction $P(x) = x$. Noter les limites en $-\infty$ et en $+\infty$.
                \item Réaliser le même travail pour les fonctions $x^2$, $x^3$, $x^4$ et $x^5$.
                \item Conjecturer les limites du tableau suivant:

                    \begin{center}
                        \begin{tabular}{|l|*{2}{c|}}
                            \hline
                            $\ds \lim_{x\rightarrow ...} x^n = $ & $n$ paire & $n$ impaire\\
                            \hline
                            $+\infty$ & & \\
                            \hline
                            $-\infty$ & & \\
                            \hline
                        \end{tabular}
                    \end{center}
            \end{enumerate}
        \item Simplification des limites des polynôme.
            \begin{enumerate}
                \item Régler les curseurs pour faire apparaitre la fonction $P(x) = x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$
                \item Déplacer les curseurs b, c, d, e et f. Est-ce que ces curseurs ont un impact sur les limites en $+\infty$? en $-\infty$?
                \item Proposer une façon de simplifier les calculs de limites.
                \item Faire varier le curseur a, quel est son impact sur les limites?
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Calculs de limtes de polynômes}, step={2}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}]
    Calculer les limites suites
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} 2x^2 + 3x + 1 = $
            \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} 2x^2 + 3x + 1 = $
            \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} -4x^2 + 3x + 1 = $

            \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} -4x^2 + 100 x - 4 = $
            \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} 4x^3 - 3x + 100 = $
            \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} -7x^5 + 6x + 0.7 = $

            \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} 2x^2 - 3x^3 + 19 = $
            \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} -0.1x^11 + x + 1 = $
            \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{-1}{2}x^5 + 3x + 1 = $
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}
\collectexercisesstop{banque}