122 lines
5.5 KiB
TeX
122 lines
5.5 KiB
TeX
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||
\usepackage{myXsim}
|
||
\usepackage{tasks}
|
||
|
||
% Title Page
|
||
\title{DM1 \hfill ZAHORE Zahiri}
|
||
\tribe{TST sti2d}
|
||
\date{\hfillÀ render pour le jeudi 25 février}
|
||
|
||
\xsimsetup{
|
||
solution/print = false
|
||
}
|
||
|
||
\begin{document}
|
||
\maketitle
|
||
|
||
\begin{exercise}[subtitle={Complexes}]
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Mettre le nombre complexe suivant sous forme algébrique $z_1 = \dfrac{2 + 4 i}{-4 + 9 i} $
|
||
\item Mettre le complexe suivante sous forme exponentielle $z_2 = - 2 \sqrt{3} - 2 i$
|
||
\item Mettre le complexe suivante sous forme exponentielle $z_3 = 6 + 6 \sqrt{3} i$
|
||
\item Calculer le produit $z_4=z_2\times z_3$ donner le résultat sous forme exponentielle puis algébrique.
|
||
\item Calculer le quotient $z_5=\frac{z_2}{z_3}$ donner le résultat sous forme exponentielle puis algébrique.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{exercise}
|
||
|
||
\begin{solution}
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item $z_1 = \frac{28}{97} - \frac{34 i}{97}$
|
||
\item $z_3 = 4 e^{- \frac{5 i \pi}{6}}$
|
||
\item $z_4 = 48 e^{- \frac{i \pi}{2}} = - 48 i = - 48.0 i$
|
||
\item $z_5 = \frac{1}{3} e^{- \frac{7 i \pi}{6}} = - \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{i}{6} = -0.289 + 0.167 i$
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{solution}
|
||
|
||
\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
|
||
Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C_f}$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par
|
||
|
||
\[
|
||
f(x) = \left(- x^{2} + 4.8 x - 3.0\right) e^{- x} + 3.0
|
||
\]
|
||
On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
|
||
\item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
|
||
\[
|
||
F(x) = 3.0 x + \left( x^{2} - 2.8 x + 0.2\right) e^{- x}
|
||
\]
|
||
\item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
|
||
\item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{exercise}
|
||
|
||
\begin{solution}
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item
|
||
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
|
||
\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
|
||
ymin=0,ymax=10,ystep=1]
|
||
\tkzGrid
|
||
\tkzAxeXY
|
||
\tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
|
||
{ (-x**2 + 4.8*x - 3.0)*exp(-x) + 3.0 };
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
|
||
\item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = \frac{5.0}{e^{4}} + 11.8$
|
||
\item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à
|
||
\[
|
||
(\frac{5.0}{e^{4}} + 11.8)\times 4 \times 15^2 = 10702.00000
|
||
\]
|
||
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{solution}
|
||
|
||
\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
|
||
Le clinker est un constituant du ciment qui résulte de la cuisson d'un mélange composé de calcaire et d'argile. La fabrication du clinker nécessite des fours à très haute température qui libèrent dans l'air une grande quantité de dioxyde de carbone (CO$_2$).
|
||
|
||
Dans une cimenterie, la fabrication du clinker s'effectue de 7 h 30 à 20 h, dans une pièce de volume \np{500000}~dm$^3$.
|
||
|
||
À 20 h, après une journée de travail, le taux volumique de CO$_2$ dans la pièce est de 0.8\,\%.
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Justifier que le volume de CO$_2$ présent dans cette pièce à 20 h est de \np{4000}~dm$^3$ .
|
||
\item On modélise le volume de CO$_2$ présent dans la pièce par une fonction du temps $t$ écoulé après 20h (exprimé en minutes) qui pour formule $V(t) = V_0e^{-0.05t} + 230$
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Démontrer que $V_0$ est égale à \np{3770}.
|
||
\item Quel sera, au dm$^3$ près, le volume de CO$_2$ dans cette pièce à 24 h ?
|
||
\item Démontrer que $V'(t) = - 188.5 e^{- 0.05 t}$.
|
||
\item Étudier le signe de $V'(t)$ puis en déduire le sens de variation de $V(t)$.
|
||
\item Que peut-on dire du volume de CO$_2$ quand $t$ devient grand?
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{exercise}
|
||
|
||
\begin{solution}
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Volume à 20h: $500000\times 0.008 = 4000$
|
||
\item
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item $t=0$ correspond à 20h.
|
||
|
||
Donc $V(0) = 4000 = V_0e^{-0.05\times 0} + 230 = V_0 + 230$
|
||
|
||
Donc $V_0 = 4000 - 230 = 3770$
|
||
\item Il faut calculer $V(t)$ pour $t = 4$ donc
|
||
\[
|
||
V(4) = 3316.61
|
||
\]
|
||
\item Pas de correction pour cette question.
|
||
\item Pas de correction pour cette question.
|
||
\item Pas de correction pour cette question.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{solution}
|
||
|
||
|
||
\end{document}
|
||
|
||
%%% Local Variables:
|
||
%%% mode: latex
|
||
%%% TeX-master: "master"
|
||
%%% End:
|