Bertrand Benjamin
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TeX
\collectexercises{banque}
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\begin{exercise}[subtitle={Multiplication entre complexe}, step={1}, origin={Création}, topics={Exponentielle complexe}, tags={Complexe}]
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Soit les 4 nombres complexes sous forme algébrique
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\[
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z_A = 1 + \sqrt{3}i \qquad
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z_B = -i + \sqrt{3} \qquad
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z_C = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i \qquad
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z_D = 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2}i
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Calculer le module et l'argument de ces 4 nombres complexes.
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\item À partir de la forme algébrique, calculer tous les produits possibles et déterminer le module et l'argument des résultats. Vous reporterez vos résultats dans les tableaux suivants
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\begin{tabular}{|c|*{6}{p{3cm}|}}
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\hline
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Algébrique & A & B & C & D \\
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\hline
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A & & & & \\
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\hline
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B & & & & \\
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\hline
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C & & & & \\
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\hline
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D & & & & \\
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\hline
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\end{tabular}
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{\small
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\hspace{-1cm}
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\begin{tabular}{|c|*{6}{p{1.5cm}|}}
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\hline
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Module & A($r= \cdots$) & B($r= \cdots$) & C ($r= \cdots$)& D($r= \cdots$) \\
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\hline
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A ($r= \cdots$) & & & &\\
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\hline
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B ($r= \cdots$) & & & &\\
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\hline
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C ($r= \cdots$) & & & &\\
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\hline
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D ($r= \cdots$) & & & &\\
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\hline
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\end{tabular}
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\hfill
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\begin{tabular}{|c|*{6}{p{1.5cm}|}}
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\hline
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Argument & A($\theta= \cdots$) & B($\theta= \cdots$) & C($\theta= \cdots$) & D($\theta= \cdots$) \\
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\hline
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A ($\theta= \cdots$) & & & &\\
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\hline
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B ($\theta= \cdots$) & & & &\\
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\hline
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C ($\theta= \cdots$) & & & &\\
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\hline
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D ($\theta= \cdots$) & & & &\\
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\hline
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\end{tabular}
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}
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\item Compléter les phrases suivantes à partir de vos résultats
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\begin{itemize}
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\item Quand on multiplie 2 nombres complexes alors les modules sont \dotfill
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\item Quand on multiplie 2 nombres complexes alors les arguments sont \dotfill
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\end{itemize}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\hspace{-1cm}
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\begin{tabular}{|c|*{6}{p{4.25cm}|}}
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\hline
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& A & B & C & D \\
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\hline
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A & $-2 + 2 \sqrt{3} i$ & $2 \sqrt{3} + 2 i$ & $\left( - \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) i$ & $\left(- 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{2}\right) + \left(3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{6} \right)i$\\
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\hline
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B & $2 \sqrt{3} + 2 i$ & $2 - 2 \sqrt{3} i$ & $\left(- \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}\right)i$ & $\left(3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{6}\right) + \left( - 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{6} \right)i$\\
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\hline
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C & $\left( - \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) i$ & $\left(- \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}\right)i$ & $- i$ & $-6$\\
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\hline
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D & $\left(- 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{2}\right) + \left(3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{6} \right)i$ & $\left( 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{6}\right) + \left( - 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{6} \right)i$& $-6$ & $36 i$\\
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\hline
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\end{tabular}
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\bigskip
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{\small
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\hspace{-1cm}
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\begin{tabular}{|c|*{6}{p{1.5cm}|}}
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\hline
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Module & A($r= 2$) & B($r= 2$) & C ($r= 1$)& D($r= 6$) \\
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\hline
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A ($r= 2$) & 4 & 4 & 2 & 12\\
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\hline
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B ($r= 2$) & 4 & 4 & &\\
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\hline
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C ($r= 1$) & 2 & & &\\
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\hline
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D ($r= 6$) & 12 & & &\\
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\hline
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\end{tabular}
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\hfill
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\begin{tabular}{|c|*{6}{p{1.5cm}|}}
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\hline
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Argument & A($\theta= \frac{\pi}{3}$) & B($\theta= \frac{5\pi}{6}$) & C($\theta= \frac{3\pi}{4}$) & D($\theta= \frac{\pi}{4}$) \\
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\hline
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A ($\theta= \frac{\pi}{3}$) & $\frac{2\pi}{3}$ & $\frac{7\pi}{6}$ & $\frac{13\pi}{12}$ & $\frac{7\pi}{12}$ \\
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\hline
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B ($\theta= \frac{5\pi}{6}$) & $\frac{7\pi}{6}$ & $\frac{10\pi}{6}$ & &\\
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\hline
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C ($\theta= \frac{3\pi}{4}$) & $\frac{13\pi}{12}$ & & &\\
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\hline
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D ($\theta= \frac{\pi}{4}$) & $\frac{7\pi}{12}$^& & &\\
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\hline
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\end{tabular}
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}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Algébrique -> Exponentielle}, step={2}, origin={Création}, topics={Exponentielle complexe}, tags={Complexe}]
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Placer les nombres suivants sur le plan complexe puis mettre sous forme exponentielle.
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $z_1 = 1$
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\item $z_2 = -3i$
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\item $z_3 = 1 + i\sqrt{3}$
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\item $z_4 = \sqrt{3} + i$
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\item $z_5 = 1 - i$
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\item $z_6 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Exponentielle -> Algébrique}, step={2}, origin={Création}, topics={Exponentielle complexe}, tags={Complexe}]
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Placer les nombres suivants sur le plan complexe puis mettre sous forme algébrique.
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $z_1 = e^{i\pi}$
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\item $z_2 = 1e^{i\frac{\pi}{4}}$
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\item $z_3 = e^{-i\frac{\pi}{2}}$
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\item $z_4 = 5e^{-i\frac{4\pi}{3}}$
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\item $z_5 = 10e^{i\frac{2\pi}{6}}$
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\item $z_6 = \frac{1}{2}e^{i\pi}$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Opération avec la forme trigonométrique}, step={2}, origin={Création}, topics={Exponentielle complexe}, tags={Complexe}]
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On définit les nombres complexes suivants
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\[
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z_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2} \qquad z_2 = 1 - i\sqrt{3}
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer la forme exponentielle des nombres complexes.
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\item Effectuer les opérations suivantes et donner le résultat sous forme exponentielle.
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $z_a = z_1 \times z_2$
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\item $z_b = \dfrac{z_1}{z_2}$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\item Calculer les quantités suivantes
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $z_A = z_1^2$
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\item $z_B = z_1^3$
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\item $z_C = z_2^4$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\item Placer le résultat de ces opérations dans un repère.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Filtres}, step={3}, origin={Création}, topics={Exponentielle complexe}, tags={Complexe}]
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Les résistances et les condensateurs sont des composants électroniques utilisés dans le domaine du son pour concevoir des filtres.
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Placé en sortie d'un microphone, un filtre atténue plus ou moins les sons selon leur fréquence $f$, exprimée en Hertz (Hz).
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Pour un filtre donné, l'atténuation d'un son se calcule à l'aide de deux nombres complexes $z_R$.
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Dans tout l'exercice, on suppose que $z_R = 10$ et $z_C = - \dfrac{\np{1000}\sqrt{3}}{f}i$ , où i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$..
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\noindent
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\textbf{Partie A : Effet du filtre sur un son grave}
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On choisit un son grave de fréquence $f = 100$.
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\begin{enumerate}
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\item Montrer que $z_C = - 10\sqrt{3} i$.
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer la forme exponentielle de $z_C$.
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\item On considère le nombre complexe $Z = z_R + z_C$. On a donc $Z = 10 - 10\sqrt{3} i$.
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Déterminer la forme exponentielle de $Z$.
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\item On considère le nombre complexe $z_G$ défini par : $z_G = \dfrac{z_C}{z_R + z_C}$.
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Montrer que $z_G = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- i\frac{\pi}{6}}$.
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\item Le module du nombre complexe $z_G$ est appelé gain du filtre.
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Donner la valeur exacte du gain du filtre puis une valeur approchée au centième.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\noindent
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\textbf{Partie B : Effet du filtre sur un son aigu }
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On choisit un son aigu de fréquence $f = \np{1000}\sqrt{3}$.
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\begin{enumerate}
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\item Montrer que le nombre complexe $z_G$ défini par $z_G = \dfrac{z_C}{z_R + z_C}$ est égal à $\dfrac{- i}{10 - i}$.
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\item Déterminer la forme algébrique de $z_G$ .
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\item Calculer la valeur exacte du gain du filtre $\left|z_G\right|$ et en donner une valeur approchée au centième.
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||
\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Bras articulé}, step={3}, origin={Création}, topics={Exponentielle complexe}, tags={Complexe}]
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Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct \Ouv, le bras articulé d’un robot, fixé au point O, est représenté par deux segments [OA] et [AB], chacun de longueur 2 unités.
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Deux exemples de position du bras articulé sont donnés ci-dessous à titre indicatif.
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\noindent
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Tracer sur la copie un repère orthonormé \Ouv.
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Placer le point A d'affixe $z_{\text A}= 2i$ puis construire l'extrémité B du bras articulé
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lorsque son affixe $z_{\text B}$ a pour argument $\dfrac{\pi}{4}$.
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\item Donner l'affixe du point B sous forme algébrique et sous forme exponentielle.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.4\linewidth}
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\includegraphics[scale=0.15]{./fig/bras1}
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\end{minipage}
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\begin{enumerate}
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\setcounter{enumi}{1}
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\item L'extrémité B du bras peut-elle atteindre un objet qui se trouve à une distance de $4,5$
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unités du point O?
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\end{enumerate}
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\noindent
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\begin{minipage}{0.6\linewidth}
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\begin{enumerate}
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\setcounter{enumi}{2}
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\item Pour soulever un objet lourd dont le point d'accroche est le point C (voir figure ci-contre), il faut rigidifier l'articulation en A. On décide alors de bloquer l'angle $\left ( \vec{AO}~,~\vec{AB}\right )$ tel qu'une mesure de cet angle soit constamment égale à $\dfrac{\pi}{2}$ radians.
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer la longueur OB.
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\item Le point C a pour affixe $z_{\text C} = 2\sqrt{2}\e^{i\frac{\pi}{12}}$.
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Justifier que l'extrémité B du bras articulé pourra atteindre le point d'accroche C de l'objet.
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\item Lorsque le bras articulé saisit l'objet, les points B et C sont confondus.
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Calculer la mesure de l'angle que forme alors le bras [OA] avec l'axe [O$x$).
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.35\linewidth}
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||
\includegraphics[scale=0.25]{./fig/bras2}
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\end{minipage}
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||
\end{exercise}
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\collectexercisesstop{banque}
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