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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\usepackage{qrcode}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Étude Polynômes - Cours}
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\date{Novembre 2020}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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\setcounter{section}{2}
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\section{Racine et factorisation}
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\begin{bclogo}[barre=none, arrondi=0.1, logo=]{Définition}
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Soit $f(x)$ un polynôme, on dit que $x$ est une \textbf{racine de $f$} si et seulement si
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\[ f(x) = 0 \]
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\end{bclogo}
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\paragraph{Exemples}%
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\begin{itemize}
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\item Montrons que $x = 1$ est une racine du polynôme $f(x) = x^2 - 1$.
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\afaire{Calculer $f(1)$ et conclure}
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\item Montrons que $x = -2$ est une racine du polynôme $f(x) = 0.5x^3 + 1.5x^2 + x$.
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\afaire{Calculer $f(-2)$ et conclure}
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\end{itemize}
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\begin{bclogo}[barre=none, arrondi=0.1, logo=]{Propriété}
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\begin{itemize}
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\item Un polynôme de degré 1 a une seul racine.
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\item Un polynôme de degré 2 a 0, 1 ou 2 racines différentes.
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\item Un polynôme de degré 3 a 1, 2 ou 3 racines différentes.
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\end{itemize}
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\end{bclogo}
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\paragraph{Remarque:} Dans la pratique, il n'est pas évident de déterminer par le calcul les racines d'un polynôme. Il existe des méthodes qui ne sont pas au programme. Par contre, il est facile de les observer sur des graphiques.
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\begin{bclogo}[barre=none, arrondi=0.1, logo=]{Propriété}
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Soit $f(x)$ un polynôme, alors les racines de $f$ sont les abscisses des points d'intersections entre la courbe représentative de $f$ et l'axe des abscisses.
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\end{bclogo}
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\paragraph{Exemples}%
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\begin{itemize}
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\item Observation des racines du polynôme $f(x) = x^2 - 1$
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\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.6]
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\tkzInit[xmin=-4,xmax=4,xstep=1,
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ymin=-2,ymax=5,ystep=1]
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\tkzGrid
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\tkzAxeXY
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\tkzFct[domain=-5:5,color=red,very thick]%
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{\x*\x-1};
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\end{tikzpicture}
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\afaire{Repérer sur le graphique les deux racines du polynôme.}
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\item Observation des racines du polynôme $f(x) = 0.5x^3 + 1.5x^2 + x$
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\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.6]
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\tkzInit[xmin=-5,xmax=2,xstep=1,
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ymin=-2,ymax=5,ystep=1]
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\tkzGrid
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\tkzAxeXY
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\tkzFct[domain=-5:5,color=red,very thick]%
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{0.5*\x**3 + 1.5*\x**2+\x};
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\end{tikzpicture}
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\afaire{Repérer graphiquement les deux racines du polynôme.}
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\end{itemize}
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\begin{bclogo}[barre=none, arrondi=0.1, logo=]{Propriété}
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Un polynôme $f(x)$ est sous la forme factorisée $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)$ si et seulement si $x_1$, $x_2$, ... et $x_n$ sont des racines de $f$.
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\end{bclogo}
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\paragraph{Exemples}%
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\begin{itemize}
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\item Donner la forme factorisée de $f(x) = x^2 - 1$.
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\afaire{Lister les racines de $f(x)$ puis déterminer la forme factorisée.}
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\item Donner la forme factorisée de $f(x) = 0.5x^3 + 1.5x^2 + x$
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\afaire{Lister les racines de $f(x)$ puis déterminer la forme factorisée.}
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\end{itemize}
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\end{document}
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