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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Binomiale et echantillonnage - Cours}
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\date{octobre 2020}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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\section{Expérience et loi de Bernoulli}
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\subsection*{Définition}
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Une expérience aléatoire qui a deux issues possibles (que l'on nommera \textbf{succès} et \textbf{échec}) est appelé \textbf{épreuve de Bernoulli}.
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En associant la valeur 1 à un succès et 0 à un échec. On peut modéliser cette expérience avec un variable aléatoire $X$ qui suit un \textbf{loi de Bernoulli} (notée $X \sim \mathcal{B}(p)$) résumée par le tableau suivant:
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|c|*{2}{C{2cm}|}}
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\hline
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Valeurs & 1 & 0 \\
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\hline
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Probabilité & p & 1-p \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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où $p$ est la probabilité d'avoir un succès.
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\subsubsection*{Exemple}
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Un passager qui a 9 chances sur 10 de se présenter à l'embarquement d'un avion.
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\afaire{Préciser ce qu'est le succès, l'échec, déterminer la valeur de $p$ et compléter le tableau}
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\subsection*{Propriétés}
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Soit $X \sim \mathcal{B}$ alors
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\begin{itemize}
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\item L'espérance de $X$ est $E[X] = p$
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\item L'écart-type de $X$ est $\sigma = \sqrt{p(1-p)}$
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\end{itemize}
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\subsubsection*{Démonstration}
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\afaire{Démontrer la formule de l'espérance}
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\section{Loi binomiale}
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On a vu que pour simuler tout un vol, c'est à dire 53 passagers, il fallait répéter 53 fois l'épreuve de Bernoulli vue dans l'exemple précédent. Les répétitions d'épreuve de Bernoulli s'appellent \textbf{schéma de Bernoulli} et sont modéliser avec une loi \textbf{binomiale}.
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\subsection*{Définition}
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La \textbf{loi Binomiale de paramètre $n$ et $p$} notée $\mathcal{B}(n;p)$ est la loi de probabilité qui modélise la somme de répétitions indépendantes et identiques de $n$ situations modélisées par une loi de Bernoulli de paramètre $p$.
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\bigskip
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Ces situations peuvent être représenté par un arbre de probabilité où chaque étage correspond à une répétition.
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\subsubsection*{Exemple}
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Dans une classe de 20 élèves, Sarah ne veut pas être interrogée sur son travail. Le professeur interroge au hasard 3 élèves qu'il choisit de façon indépendantes et identiques.
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On note $X$ le nombre de fois que Sarah est interrogée.
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\afaire{Quelle loi suit $X$? Représenter la situation avec un arbre de probabilité}
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\end{document}
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