2021-2022/2nd/Evaluations/DM_2021-09-27/13_DM1.tex

\documentclass[a5paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

% Title Page
\title{DM1 \hfill GOUGEAUD William}
\tribe{2nd6}
\date{À rendre pour Vendredi 1 octobre 2021}

\xsimsetup{
    solution/print = false
}

\begin{document}
\maketitle

\begin{exercise}[subtitle={Calculs avec des fractions}]
    Détailler les calculs suivants et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}[label={\Alph*=}]
            \item $\dfrac{9}{5} + \dfrac{3}{5}$
            \item $\dfrac{1}{5} + 6$

            \item $\dfrac{6}{3} + \dfrac{1}{27}$
            \item $\dfrac{5}{7} + \dfrac{2}{6}$

            \item $\dfrac{8}{6} \times 1$
            \item $\dfrac{7}{9} \times \dfrac{4}{9}$

            \item $\dfrac{9}{5} \times \dfrac{- 9}{10}$
            \item $\dfrac{\dfrac{1}{5}}{\dfrac{2}{10}}$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}


\begin{solution}
        \begin{enumerate}[label={\Alph*=}]
            \item $\dfrac{9}{5} + \dfrac{3}{5}=\dfrac{9 + 3}{5}=\dfrac{12}{5} = \dfrac{12}{5}$
            \item $\dfrac{1}{5} + 6=\dfrac{1}{5} + \dfrac{6}{1}=\dfrac{1}{5} + \dfrac{6 \times 5}{1 \times 5}=\dfrac{1}{5} + \dfrac{30}{5}=\dfrac{1 + 30}{5}=\dfrac{31}{5} = \dfrac{31}{5}$
            \item $\dfrac{6}{3} + \dfrac{1}{27}=\dfrac{6 \times 9}{3 \times 9} + \dfrac{1}{27}=\dfrac{54}{27} + \dfrac{1}{27}=\dfrac{54 + 1}{27}=\dfrac{55}{27} = \dfrac{55}{27}$
            \item $\dfrac{5}{7} + \dfrac{2}{6}=\dfrac{5 \times 6}{7 \times 6} + \dfrac{2 \times 7}{6 \times 7}=\dfrac{30}{42} + \dfrac{14}{42}=\dfrac{30 + 14}{42}=\dfrac{44}{42} = \dfrac{22}{21}$

            \item $\dfrac{8}{6} \times 1=\dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$
            \item $\dfrac{7}{9} \times \dfrac{4}{9}=\dfrac{7 \times 4}{9 \times 9}=\dfrac{28}{81} = \dfrac{28}{81}$
            \item $\dfrac{9}{5} \times \dfrac{- 9}{10}=\dfrac{9(- 9)}{5 \times 10}=\dfrac{- 81}{50} = \dfrac{- 81}{50}$
            \item $\dfrac{\dfrac{1}{5}}{\dfrac{2}{10}}=\dfrac{1}{5} \times \dfrac{10}{2}=\dfrac{1 \times 10}{5 \times 2}=\dfrac{10}{10} = 1$
        \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Radars}]
    Un radar de la sécurité routière prend en photo les véhicules en ecvès de vitesse. Sur certaines photos, il n'est pas possible de lire le numéro d'immatriculation du véhicule., on dit alors que la photo est ratée; dans le cas contraire, on dit qu'elle est réussie.

    Le radar a pris des photos pendant l'été:
    \begin{itemize}
        \item en juin, il y a eu 47 photos prises dont 22 ratées.
        \item en juillet, il y a eu 32 photos réussies et 30 ratées.
        \item en août, il y a eu 69 photos dont une proportion de 0.28 de photos ratées.
        \item en septembre, il y a eu 13 photos ratées, ce qui correspondait à 24.07\% des photos prises.
    \end{itemize}

    \begin{enumerate}
        \item Compléter le tableau suivant.
            \begin{center}
                \begin{tabular}{|c|*{5}{c|}}
                    \hline
                    & Juin & Juillet & Août & Septembre & Total\\
                    \hline
                    Réussies & & & & &\\
                    \hline
                    Ratées & & & & &\\
                    \hline
                    Total & & & & & \\
                    \hline
                \end{tabular}
            \end{center}
        \item Sur l'ensemble de ces 4 mois, quel a été le pourcentage de photos réussies?
        \item Décrire l'évolution relative du nombre de photos ratées mois par mois.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \textit{La correction est automatique, il peut y avoir des problèmes d'arrondis.}
    \begin{enumerate}
        \item ~
            \begin{center}
                \begin{tabular}{|c|*{5}{c|}}
                    \hline
                    & Juin & Juillet & Août & Septembre & Total\\
                    \hline
                    Réussies & 25 & 32 & 50 & 41 & 148\\
                    \hline
                    Ratées & 22 & 30 & 19 & 13 & 84\\
                    \hline
                    Total & 47 & 62 & 69 & 54 & 232\\
                    \hline
                \end{tabular}
            \end{center}
        \item Proportion de photos réussies
            \[
                \frac{148}{232} = 0.64 = 63\%
            \]
        \item 
            \begin{itemize}
                \item De juin à juillet
                    \[
                        \frac{30 - 22}{22} = \frac{8}{22} = 0.36 = 36\%
                    \]
                \item De juillet à août
                    \[
                        \frac{19 - 30}{30} = \frac{-11}{30} = -0.37 = -36\%
                    \]
                \item De août à septembre
                    \[
                        \frac{13 - 19}{19} = \frac{-6}{19} = -0.32 = -31\%
                    \]
            \end{itemize}
    \end{enumerate}
\end{solution}


\end{document}