2021-2022/2nd/Evaluations/DS_2022-01-18/exercises.tex

\begin{exercise}[subtitle={Cducosto}, step={1}, origin={Création?}, topics={Fonctions}, tags={Tableau de signes, Tableau de variations, inéquations}, points=5]
    L'entreprise Cducosto produit des outils de bricolages.
    \begin{enumerate}
        \item Leur premier produit est un marteau. Voici les tableaux décrivant le signe et les variations des bénéfices (notés $B(x)$) en fonction du nombre de marteau qu'elle produit et vend.

            \begin{center}
                \begin{tikzpicture}
                    \tkzTabInit[]{$x$/1,Signes de $B(x)$/2}{0, 30, 120, 150}
                    \tkzTabLine{, -, z, +, z, -,}
                \end{tikzpicture}

                \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
                    \tkzTabInit[]{$ x $/1, Variations de $ B(x) $/2}{0, 75, 150}
                    \tkzTabVar{ -/-175, +/100, -/-175}
                \end{tikzpicture}
            \end{center}

        \begin{enumerate}
            \item Si l'entreprise produit 10 marteaux, fait-elle des bénéfices?
            \item Sur quel intervalle doit-elle produire pour que ses bénéfices soient positifs?
            \item Quelle quantité de marteaux doit-elle produire pour faire un maximum de bénéfices?
        \end{enumerate}

        \item Leur deuxième produit est une visseuse automatique. Le bénéfice liés à cet outil est donné par la fonction suivante:
        \begin{eqnarray*}
            f:x & \mapsto & 2x - 3
        \end{eqnarray*}
        \begin{enumerate}
            \item Tracer et démontrer le tableau de signes de cette fonction.
            \item À partir de combien de visseuses l'entreprise fait-elle du bénéfice?
        \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{center}
                \begin{tikzpicture}[xscale=1]
                    \begin{axis}[
                        xscale=2,
                        axis lines = center,
                        %grid = both,
                        xlabel = {Quantité},
                        %xtick={0, 20, ..., 150},
                        xtick distance=10,
                        ylabel = {Bénéfices},
                        ytick distance=50,
                        ymax=150,
                        grid=major
                        ]
                        \addplot[domain=0:150,samples=40, color=red, very thick]{-0.05*x*x + 7.5*x - 180};
                    \end{axis}
                \end{tikzpicture}
            \end{center}
            \begin{enumerate}
                \item Pour que les bénéfices soient positifs , il faut que la production reste sur l'intervalle $\intFF{3}{120}$
            \end{enumerate}
        \item 
            \begin{enumerate}
                \item 
                On cherche là où la fonction $f$ est positive
                \begin{eqnarray*}
                    f(x) & > &0\\
                    2x - 3 & > & 0 \\
                    2x & > & 3 \\
                    && \mbox{2 est positif, on ne change}\\
                    && \mbox{le sens de l'inégalité}\\
                    x &>& \frac{3}{2} = 1,5
                \end{eqnarray*}
                Donc $f(x)$ est positive quand $x$ est supérieur à 1.5.

                \begin{tikzpicture}
                    \tkzTabInit[]{$x$/1,$f(x)$/1}{0, {1,5}, $+\infty$}
                    \tkzTabLine{ ,-, z, +,}
                \end{tikzpicture}
            \item 
                    À partir de 2 visseuses l'entreprise fait des bénéfices (là où dans le tableau au dessus il y a un +)
                
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Tableaux}, step={1}, origin={Création?}, topics={Fonctions}, tags={Tableau de signes, Tableau de variations}, points=5]
    \begin{enumerate}
        \item Tracer le tableau de signes puis le tableau de variation de la fonction suivante
            \begin{center}
                \begin{tikzpicture}[yscale=0.5]
                    \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
                    ymin=-5,ymax=4,ystep=1]
                    \tkzGrid
                    \tkzAxeXY
                    \draw[very thick, color=red] plot [smooth,tension=0.5, mark=*] coordinates{(-4, -4) (-3.5, -3) (-3, 0) (-2, 1) (-1, 0) (0, -3) (1, -1) (2, -3) (2.5,0) (3, 2) (4, 3)};
                    \draw (4,3) node[above right] {$\mathcal{C}_f$};
                \end{tikzpicture}
            \end{center}
        \item En utilisant la calculatrice tracer le tableau de signe puis le tableau de variation de la fonction
            \[
                g(x) = x^3 + x^2 - 2x
            \]
    \end{enumerate}
\end{exercise}