2021-2022/2nd/Evaluations/DS_2022-01-18/exercises.tex

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\begin{exercise}[subtitle={Cducosto}, step={1}, origin={Création?}, topics={Fonctions}, tags={Tableau de signes, Tableau de variations, inéquations}, points=5]
L'entreprise Cducosto produit des outils de bricolages.
\begin{enumerate}
\item Leur premier produit est un marteau. Voici les tableaux décrivant le signe et les variations des bénéfices (notés $B(x)$) en fonction du nombre de marteau qu'elle produit et vend.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[]{$x$/1,Signes de $B(x)$/2}{0, 30, 120, 150}
\tkzTabLine{, -, z, +, z, -,}
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
\tkzTabInit[]{$ x $/1, Variations de $ B(x) $/2}{0, 75, 150}
\tkzTabVar{ -/-175, +/100, -/-175}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Si l'entreprise produit 10 marteaux, fait-elle des bénéfices?
\item Sur quel intervalle doit-elle produire pour que ses bénéfices soient positifs?
\item Quelle quantité de marteaux doit-elle produire pour faire un maximum de bénéfices?
\end{enumerate}
\item Leur deuxième produit est une visseuse automatique. Le bénéfice liés à cet outil est donné par la fonction suivante:
\begin{eqnarray*}
f:x & \mapsto & 2x - 3
\end{eqnarray*}
\begin{enumerate}
\item Tracer et démontrer le tableau de signes de cette fonction.
\item À partir de combien de visseuses l'entreprise fait-elle du bénéfice?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1]
\begin{axis}[
xscale=2,
axis lines = center,
%grid = both,
xlabel = {Quantité},
%xtick={0, 20, ..., 150},
xtick distance=10,
ylabel = {Bénéfices},
ytick distance=50,
ymax=150,
grid=major
]
\addplot[domain=0:150,samples=40, color=red, very thick]{-0.05*x*x + 7.5*x - 180};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Pour que les bénéfices soient positifs , il faut que la production reste sur l'intervalle $\intFF{3}{120}$
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item
On cherche là où la fonction $f$ est positive
\begin{eqnarray*}
f(x) & > &0\\
2x - 3 & > & 0 \\
2x & > & 3 \\
&& \mbox{2 est positif, on ne change}\\
&& \mbox{le sens de l'inégalité}\\
x &>& \frac{3}{2} = 1,5
\end{eqnarray*}
Donc $f(x)$ est positive quand $x$ est supérieur à 1.5.
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[]{$x$/1,$f(x)$/1}{0, {1,5}, $+\infty$}
\tkzTabLine{ ,-, z, +,}
\end{tikzpicture}
\item
À partir de 2 visseuses l'entreprise fait des bénéfices (là où dans le tableau au dessus il y a un +)
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Tableaux}, step={1}, origin={Création?}, topics={Fonctions}, tags={Tableau de signes, Tableau de variations}, points=5]
\begin{enumerate}
\item Tracer le tableau de signes puis le tableau de variation de la fonction suivante
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.5]
\tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
ymin=-5,ymax=4,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY
\draw[very thick, color=red] plot [smooth,tension=0.5, mark=*] coordinates{(-4, -4) (-3.5, -3) (-3, 0) (-2, 1) (-1, 0) (0, -3) (1, -1) (2, -3) (2.5,0) (3, 2) (4, 3)};
\draw (4,3) node[above right] {$\mathcal{C}_f$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item En utilisant la calculatrice tracer le tableau de signe puis le tableau de variation de la fonction
\[
g(x) = x^3 + x^2 - 2x
\]
\end{enumerate}
\end{exercise}