2021-2022/4e/12_Arithmetique/exercises.tex

\begin{exercise}[subtitle={Pique-nique}, step={1}, origin={Création}, topics={Arithmétique}, tags={arithmétique}, mode={\faIcon{search}}]
    Quand Mme Abode prepare à manger pour ses enfants, elle prend soin que chacun ait autant de bananes et de sandwichs et que rien ne soit jeté. Aujourd'hui pour le repas de ses enfants, elle a acheté 60 sandwichs et 42 bananes.

    \begin{enumerate}
        \item Combien a-t-elle d'enfants?
        \item On donne un indice supplémentaire, elle n'a eu que des jumeaux. Affiner votre réponse à la question précédente.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Joli bouquet}, step={1}, origin={Création}, topics={Arithmétique}, tags={arithmétique}, mode={\faIcon{search}}]
    \noindent
        Abdou a 24 fleurs, Mariam a 16 fleurs et Roubouanti en a 29. Chacun veut partager ses fleurs.

        Abdou anonce:
        \begin{quote}
            \textit{Si on est 6 ou 8, je peux partager mes fleurs équitablement}
        \end{quote}

        Mariam continue
        \begin{quote}
            \textit{Il faut forcement que l'on soit 4 ou 8 pour pouvoir partager les miennes équitablement. C'est la seule solution.}
        \end{quote}

        Roubouanti conclut
        \begin{quote}
            \textit{Quelque soit le nombre de personnes, je ne pourrai jamais partager mes fleurs équitablement.}
        \end{quote}

    Que pensez vous de ces affirmations?
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Sandwichs}, step={1}, origin={Création}, topics={Arithmétique}, tags={arithmétique}, mode={\faIcon{tools}}]
    Au supermarché, le jambon est vendu par paquets de 6 tranches et le pain de mie par paquets de 20 tranches. J'aime me faire des sandwichs avec une tranche de jambon et 2 tranches de pain de mie.

    Je n'aime pas gaspiller et je ne veux donc pas de reste. Combien de paquet de chaque dois-je acheter? Combien de sandwichs vais-je pouvoir me faire?
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Multiples et diviseurs}, step={2}, origin={Création}, topics={Arithmétique}, tags={arithmétique}, mode={\faIcon{book}}]
    Recopier le cours: \textbf{Multiples et diviseurs}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \subsection*{Multiples et diviseurs}

    \begin{definition}
        \begin{itemize}
            \item On dit qu'un nombre, $a$, est un \textbf{diviseur} d'un autre, $b$, quand $b$ peut être partagé en $a$ parts (on dit que la division euclidienne de $a$ par $b$ n'a pas de reste)
            \item On dit qu'un nombre, $a$, un \textbf{multiple} d'un autre, $b$, quand on peut multiplier $a$ pour obtenir $b$.
        \end{itemize}
    \end{definition}

    \paragraph{Exemples:}
    \begin{itemize}
        \item 2 est un \textbf{diviseur} de 10 car \dotfill \\[0.5cm]
        \item 3 n'est pas un \textbf{diviseur} de 10 car \dotfill \\[0.5cm]
        \item Les diviseurs de 10 sont \dotfill \\[1cm]

        \item 8 est un \textbf{multiple} de 4 car \dotfill \\[0.5cm]
        \item 10 est un \textbf{multiple} de 2 car \dotfill \\[0.5cm]
        \item 10 n'est pas un \textbf{multiple} de 3 car \dotfill \\[0.5cm]
        \item 10 n'est pas un \textbf{multiple} de 20 car \dotfill \\[0.5cm]
    \end{itemize}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Vrai/faux}, step={2}, origin={Création}, topics={Arithmétique}, tags={arithmétique}, mode={\faIcon{tools}}]
    Déterminer plus expliquer si les phrases suivantes sont vraies.
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item 4 est un diviseur de 12.
            \item 3 et 4 sont des diviseurs de 24.
            \item 50 est un multiple 4.
            \item 5 et 20 sont des multiples de 10.
            \item 60 est un multiple de 15.
            \item 40 a exactement 6 diviseurs.
            \item 30 a exactement 6 multiples.
            \item Il existe un nombre avec 1 seul diviseur.
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Trésor de Pirates}, step={2}, origin={Création}, topics={Arithmétique}, tags={arithmétique}, mode={\faIcon{tools}}]
    Chez les pirates le partage c'est important. Tout le monde doit absolument avoir la même part du trésor. Quand ça n'est pas possible, pas de pitié, il faut diminuer les effectifs. L'équipage en trop ira nourrir les requins.

    Aujourd'hui les pirates ont récolté un beau butin:
    \begin{multicols}{3}
        \begin{itemize}
            \item 5040 pièces d'or
            \item 6300 pièces d'argent
            \item 7350 pièces de bronze
        \end{itemize}
    \end{multicols}
    Quelle doit être la taille de l'équipage pour qu'aucun pirate n'aille nourrir les requins?
\end{exercise}


\begin{exercise}[subtitle={Diviseurs}, step={3}, origin={Création}, topics={Arithmétique}, tags={arithmétique}, mode={\faIcon{search}}]
    \begin{enumerate}
        \item Déterminer tous les diviseurs des nombres suivants

            \[
                4 \qquad 10 \qquad 21 \qquad 46 \qquad 64 \qquad 77
            \]
        \item Trouver un nombre qui a exactement 4 diviseurs.
        \item Trouver quatre nombres qui ont exactement 2 diviseurs.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Nombres premiers}, step={3}, origin={Création}, topics={Arithmétique}, tags={arithmétique}, mode={\faIcon{book}}]
    Recopier le cours: \textbf{Nombres premiers}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \subsection*{Nombres premiers}

    \begin{definition}[Nombres premiers]
        On dit qu'un nombre est un \textbf{nombre premier} quand il n'a que deux diviseurs 1 et lui même.
    \end{definition}

    \paragraph{Exemples:}
    \begin{itemize}
        \item Les diviseurs de 5 sont: \dotfill \\[1cm]
            Donc 5 est \qquad \textit{un nombre premier \qquad / \qquad pas un nombre premier}
        \item Les diviseurs de 10 sont: \dotfill \\[1cm]
            Donc 10 est \qquad \textit{un nombre premier \qquad / \qquad pas un nombre premier}
        \item Les diviseurs de 32 sont: \dotfill \\[1cm]
            Donc 32 est \qquad \textit{un nombre premier \qquad / \qquad pas un nombre premier}
    \end{itemize}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Crible d'Eratosthène}, step={3}, origin={Création}, topics={Arithmétique}, tags={arithmétique}, mode={\faIcon{search}}]
    \newcommand{\numInBox}[1]{%
        \framebox{\parbox[][14pt][b]{1.2em}{%
                \centering%
                #1%
        }}%
    }

    \newcounter{clig}
    \newcounter{ccol}
    \newcounter{cligmax}
    \newcounter{ccolmax}
    \newcounter{csym}
    \newcommand{\range}[3]{%
        % #1 min, #3 nbr ligne, #4 nbr col
        \setcounter{clig}{0}% Mise à zéro des compteurs de ligne
        \setcounter{ccol}{0}% et de colonne
        \setcounter{cligmax}{#2}% arguments 3 et 4 pour fixer
        \setcounter{ccolmax}{#3}% le nombre max de colonnes et de lignes
        \whiledo{\value{clig}<\value{cligmax}}{%
            \setcounter{ccol}{0}% remise à zéro du compteur de colonne
            \whiledo{\value{ccol}<\value{ccolmax}}{%
                % on calcule le numéro du symbole
                \setcounter{csym}{%
                \value{clig}*\value{ccolmax}+\value{ccol}+#1}
                \numInBox{\thecsym}
                \stepcounter{ccol}%
            }% on passe à la colonne suivante
            \stepcounter{clig}% on passe à la ligne suivante
            % on saute une ligne , sauf à la fin
            \ifthenelse{\value{clig}<\value{cligmax}}{\\}{}%
    }}
    On cherche à découvrir une famille de nombres aux propriétés très particulières, \textbf{les nombres premiers}.

    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
        \begin{center}
            \range{1}{10}{10}
        \end{center}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{0.5\linewidth}


        \Ovalbox{%
            \begin{minipage}{0.9\textwidth}
                \hspace{0.2cm}
                \textbf{Algorithme du Crible}
                \begin{itemize}
                    \item Sélectionner un nombre.
                    \item S'il n'est pas barré, l'entourer.
                    \item Barrer tous les multiples de ce nombre.
                \end{itemize}
            \end{minipage}
        }

        \begin{enumerate}
            \item Appliquer cet algorithme à 2.
            \item Appliquer cet algorithme à 3.
            \item Appliquer cet algorithme à 4.
            \item Appliquer cet algorithme aux autres nombres dans l'ordre croissant.
            \item Faire la liste de tous les nombres entourés. Ce sont tous les nombres premiers inférieur à 100.
            \item Écrire une phrase expliquant ce qui lie tous ces nombres.
        \end{enumerate}
    \end{minipage}
\end{exercise}