Feat: deuxième étape sur les vecteurs et leur coordonnées
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@ -10,5 +10,59 @@
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\begin{document}
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\maketitle
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\setcounter{section}{1}
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\section{Opération sur les coordonnées de vecteurs}
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\begin{propriete}[Addition de vecteurs]
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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Soient $\vect{u} \vectCoord{x_u}{y_u}$ et $\vect{v}\vectCoord{x_v}{y_v}$ deux vecteurs alors
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\[
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\vect{u}+\vect{v} \quad \vectCoord{x_u + x_v}{y_u + y_v}
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\]
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On peut faire un calcul similaire pour la soustraction de vecteurs.
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.4\linewidth}
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\begin{tikzpicture}
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\repereOIJ{-1}{5}{-1}{5}
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\draw [->, very thick] (1, 1) -- node [midway, below] {$\vect{u}$} (3, 2);
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\draw [->, very thick] (3, 2) -- node [midway, below] {$\vect{v}$} (4, 4);
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\draw [->, very thick] (1, 1) -- node [midway, above left] {$\vect{u} + \vect{v}$} (4, 4);
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\end{propriete}
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\paragraph{Exemple}:~
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Soient 3 vecteurs $\vect{u} \vectCoord{2}{4}$, $\vect{v} \vectCoord{1}{-2}$ et $\vect{w} \vectCoord{-6}{5}$. Calculer les coordonnées des vecteurs suivants:
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\begin{itemize}
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\item $\vect{u} + \vect{v} $
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\\[0.5cm]
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\item $\vect{u} + \vect{v} - \vect{w} $
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\\[0.5cm]
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\end{itemize}
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\afaire{compléter les exemples}
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\begin{definition}[Multiplication par un réel]
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Soient $\vect{u}\vectCoord{x}{y}$ un vecteur et $k$ un nombre réel. Alors le vecteur $k\vect{u}$ est le vecteur de coordonnées
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\[
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k\vect{v}\quad \vectCoord{kx}{ky}
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\]
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On dira alors que $\vect{u}$ et $k\vect{u}$ sont \textbf{colinéaires}.
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\end{definition}
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\paragraph{Exemple}:~
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On reprend les vecteurs de l'exemple précédent. Calculer les coordonnées des vecteurs suivants
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\begin{itemize}
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\item $5\vect{u} $
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\\[0.5cm]
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\item $\vect{u} + 2\vect{v}$
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\\[0.5cm]
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\end{itemize}
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\afaire{compléter les exemples}
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\paragraph{Remarque:} Si l'on a $\vect{AI} = \dfrac{1}{2} \vect{AB}$, alors \dotfill
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\afaire{compléter la phrase}
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\end{document}
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@ -0,0 +1,18 @@
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Vecteur et coordonnées - Exercices}
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\date{avril 2022}
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\DeclareExerciseCollection[step=2]{banque}
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\xsimsetup{collect}
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\begin{document}
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\setcounter{exercise}{4}
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\input{exercises.tex}
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\printcollection{banque}
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\end{document}
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@ -23,7 +23,6 @@
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\item $S$ image de $D$ par la translation de vecteur $2\vect{u}$
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.4\linewidth}
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\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
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@ -51,23 +50,34 @@
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\begin{enumerate}
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\item $\vect{AB}$
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\item $\vect{AC}$
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\item $\vect{BC}$
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\item $\vect{DC}$
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\item $\vect{DE}$
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\item $\vect{ED}$
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\item $\vect{AE}$
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\item $\vect{BE}$
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\item $\vect{EC}$
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\item $\vect{EC}$
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\item $\vect{EF}$
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\item $\vect{FA}$
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\item $\vect{FG}$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Égalité entre vecteurs}, step={1}, origin={Création}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
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\begin{enumerate}
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\item Dans les cas suivant, justifier si les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ sont égaux
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\begin{enumerate}
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\item $A(-2; -1)$, $B(1; 3)$, $C(1; 1)$ et $D(-2; -1)$
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\item $A(0; -1)$, $B(1; 0)$, $C(0; -2)$ et $D(1; -1)$
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\end{enumerate}
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\item Écrire un algorithme pour déterminer deux vecteurs sont égaux en partant des coordonnées des points.
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\item On donne 3 points $A(1; 2)$, $B(1; 4)$ et $C(x; 6)$. Quelle doit être la valeur de $x$ pour que les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{BC}$ soient égaux?
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\item On donne 4 points $A(x-1; 2)$, $B(-1; y-5)$, $C(0; -2)$ et $D(4; 3)$. Quelle doivent être les valeurs de $x$ et $y$ pour que les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ soient égaux?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Coordonnée de points et transformations}, step={1}, origin={Création}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
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Calculer les coordonnées des points suivants
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@ -77,3 +87,48 @@
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\item $F$ image du point $E(0; 3)$ par la translation de vecteur $\vect{v}\vectCoord{-3}{-2}$.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Calculs avec les coordonnées de vecteurs}, step={2}, origin={Création}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
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On définit les vecteurs suivants
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\[
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\vect{u} \vectCoord{2}{5} \qquad
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\vect{v} \vectCoord{0}{2} \qquad
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\vect{w} \vectCoord{1}{-4} \qquad
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\vect{x} \vectCoord{-3}{2}
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\]
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et les points suivants
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\[
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A(2; 5) \qquad
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B(4; 1) \qquad
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C(2; -2) \qquad
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D(-3; 1)
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\]
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Calculer les coordonnées des vecteurs suivants
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\begin{multicols}{4}
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\begin{enumerate}
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\item $\vect{u} +\vect{x}$
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\item $\vect{w} +\vect{x}$
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\item $\vect{w} - \vect{v}$
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\item $\vect{u} + \vect{x} + \vect{v} - 2\vect{w}$
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\item $2\vect{w} +\vect{x} - 2\vect{x}$
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\item $\vect{AB} +\vect{x}$
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\item $\vect{AC} + 2\vect{CD}$
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\item $\vect{AC} - 3\vect{AB}$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Coordonnée manquante}, step={2}, origin={Création}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
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Soient $A(-3; 7)$, $B(0; -3)$ et $(-2; 3)$ trois points du plan et un point $M(x;y)$ dont il faudra déterminer les coordonnées dans chacun des cas suivants
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\begin{multicols}{4}
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\begin{enumerate}
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\item $\vect{AM} = \dfrac{1}{2}\vect{CB}$
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\item $2\vect{AB} + 3\vect{CM} = \vect{0}$
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\item $\vect{BM} = 3\vect{AB} - \vect{CB}$
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\item $3\vect{BM} = 2\vect{AM}$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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@ -50,6 +50,18 @@ Exercices
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Étape 2: Opérations avec des vecteurs
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.. image:: ./2B_operations.pdf
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:height: 200px
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:alt: Cours sur les opérations sur les coordonnées de vecteurs
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Exercices
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.. image:: ./2E_operation.pdf
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:height: 200px
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:alt: Calculs avec des vecteurs
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Étape 3: Norme et distance
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