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@@ -24,4 +24,7 @@
 \printcollection{banque}
 \vfill
 
+\pagebreak
+\printsolutions{exercise}
+
 \end{document}
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+++ b/2nd/04_Demontrastion_Geometrique/exercises.tex
@@ -62,6 +62,22 @@
     \end{enumerate}
 \end{exercise}
 
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item 
+        \item On note $H$ le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$ et $P$ celui de $D$ sur $(AC)$.
+
+            \textbf{On sait que} $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$. \textbf{Or} le projeté orthogonal est le point d'intersection de la perpendiculaire passant par le point et de la droite. \textbf{Donc} $(BH)$ est perpendiculaire à $(AC)$.
+
+            \textbf{On sait que} $P$ est le projeté orthogonal de $D$ sur $(AC)$. \textbf{Or} le projeté orthogonal est le point d'intersection de la perpendiculaire passant par le point et de la droite. \textbf{Donc} $(DP)$ est perpendiculaire à $(AC)$.
+
+            \textbf{On sait que} $B$ et $D$ ont le même projeté orthogonal sur la droite $(AC)$. \textbf{Donc} $H$ et $P$ sont un même point.
+
+            \textbf{On sait que} $(BH)$ est perpendiculaire à $(AC)$, $(DP)$ est perpendiculaire à $(AC)$ et que $H$ et $P$ sont un même point. \texbf{Donc} $(BD)$ est perpendiculaire à $(AC)$.
+        \item \textbf{On sait que } $ABCD$ est un parallélogramme et que  $(BD)$ est perpendiculaire à $(AC)$. \textbf{Or} un parallélogramme qui a ses diagonales qui se coupent en angle droit est un losange. \textbf{Donc} $ABCD$ est un losange.
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
 \begin{exercise}[subtitle={Longueurs et aire}, step={4}, origin={Magnard 2nd 41p124}, topics={ Demontrastion Geometrique }, tags={ Géométrie, Démonstration }]
     On considère un rectangle $ABCD$ avec $AB=6$ et $BC=3$. On projette orthogonalement le point $B$ sur $(AC)$ en un point $H$.
     \begin{enumerate}
@@ -71,6 +87,26 @@
     \end{enumerate}
 \end{exercise}
 
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item Aire du triangle $ABC$: $\dfrac{AB\times BC}{2} = \dfrac{6\times 3}{2} = 9$
+        \item \textbf{On sait que} $ABC$ est un triangle rectangle. \textbf{Or} d'après le théorème de Pythagore, on a \textbf{donc}
+            \begin{enarray*}
+                
+                AC^2 = AB^2 + BC^2\\
+                AC^2 = 6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45\\
+                AC \approx 6.7
+            \end{enarray*}
+        \item On sait que l'aire du triangle $ABC$ est égale à 9.
+            \begin{eqnarray*}
+                9 = \frac{AC\times BH}{2} = \frac{6,7\tilmes BH}{2}\\
+                BH = \frac{9 \times 2}{6,7} \approx 2,7
+            \end{eqnarray*}
+            Donc $BH = 2,7$
+    \end{enumerate}
+    
+\end{solution}
+
 \begin{exercise}[subtitle={Longueurs}, step={4}, origin={Magnard 2nd 42p124}, topics={ Demontrastion Geometrique }, tags={ Géométrie, Démonstration }]
     On considère deux droites $d$ et $d'$ sécantes en un point $O$ et un point $A$ n'appartenant ni à $d$ ni à $d'$.