From f977ad0eeb7fa05abe2269af53f120187554b5fb Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Bertrand Benjamin Date: Sun, 27 Mar 2022 12:03:12 +0200 Subject: [PATCH] Feat: template du DM4 pour les 2nd avec la correction --- 2nd/Evaluations/DM_2022-04-01/tpl_DM4.tex | 81 ++++++++++++++++++++++- 1 file changed, 79 insertions(+), 2 deletions(-) diff --git a/2nd/Evaluations/DM_2022-04-01/tpl_DM4.tex b/2nd/Evaluations/DM_2022-04-01/tpl_DM4.tex index cee68f2..90e0015 100644 --- a/2nd/Evaluations/DM_2022-04-01/tpl_DM4.tex +++ b/2nd/Evaluations/DM_2022-04-01/tpl_DM4.tex @@ -147,7 +147,7 @@ \frac{\Var{a}}{\Var{a}}x &< \frac{-\Var{b}}{\Var{a}} \\ x &< \frac{-\Var{b}}{\Var{a}} \end{align*} - Donc $x = \intOO{-\infty}{\frac{-\Var{b}}{\Var{a}}}$ + Donc $x \in \intOO{-\infty}{\frac{-\Var{b}}{\Var{a}}}$ \begin{align*} \Var{a1}x + \Var{b1} &\leq \Var{c1} \\ %- set d1 = c1 - b1 @@ -155,14 +155,91 @@ \frac{\Var{a1}}{\Var{a1}}x &\geq \frac{\Var{d1}}{\Var{a1}} \\ x &\geq \frac{\Var{d1}}{\Var{a1}} \end{align*} - Donc $x = \intFO{\frac{\Var{d1}}{\Var{a1}}}{+\infty}$ + Donc $x \in \intFO{\frac{\Var{d1}}{\Var{a1}}}{+\infty}$ \end{enumerate} \end{solution} \begin{exercise}[subtitle={Géométrie repérée}, points=2] + %- set xA, yA = random.randint(-10, -1), random.randint(-10, 10) + %- set xB, yB = random.randint(1, 10), random.randint(-10, 10) + %- set xI, yI = (xA + xB)/2, (yA + yB)/2 + %- set xC, yC = (yA - yB + xA + xB)/2, (xB - xA + yA + yB)/2 + %- set xD, yD = (yB - yA + xA + xB)/2, (xA - xB + yA + yB)/2 + %- set xJ, yJ = (xC + xD)/2, (yC + yD)/2 + Soient $A(\Var{xA}, \Var{yA})$, $B(\Var{xB}, \Var{yB})$, $C(\Var{xC}, \Var{yC})$ et $D(\Var{xD}, \Var{yD})$ quatre points du plan. + \begin{enumerate} + \item Calculer les coordonnées de $I$ le milieu du segment $[AB]$ et de $J$ le milieu de du segment $[CD]$. + \item En déduire la nature du quadrilatère $ACBD$. + \item Quelle est la nature du triangle $ACB$? + \item En déduire une caractérisation du quadrilatère $ACBD$ plus précise qu'à la question 2. + \end{enumerate} \end{exercise} \begin{solution} + %- set xmin, xmax = min(xA, xB, xI, xC, xD) - 1, max(xA, xB, xI, xC, xD) + 1 + %- set ymin, ymay = min(yA, yB, yI, yC, yD) - 1, max(yA, yB, yI, yC, yD) + 1 + \begin{center} + \begin{tikzpicture} + \repere{\Var{xmin}}{\Var{xmax}}{\Var{ymin}}{\Var{xmax}} + \draw (\Var{xA}, \Var{yA}) node {x} node [below left] {$A$}; + \draw (\Var{xB}, \Var{yB}) node {x} node [below left] {$B$}; + \draw (\Var{xI}, \Var{yI}) node {x} node [below left] {$I$}; + \draw (\Var{xC}, \Var{yC}) node {x} node [below left] {$C$}; + \draw (\Var{xD}, \Var{yD}) node {x} node [below left] {$D$}; + \end{tikzpicture} + \end{center} + \begin{enumerate} + \item + Coordonnées de $I$ milieu de $[AB]$. + \[ + x_I = \frac{\Var{xA} + \Var{xB}}{2} = \Var{xI} \qquad + y_I = \frac{\Var{yA} + \Var{yB}}{2} = \Var{yI} \qquad + \] + Coordonnées de $J$ milieu de $[CD]$. + \[ + x_J = \frac{\Var{xC} + \Var{xD}}{2} = \Var{xJ} \qquad + y_J = \frac{\Var{yC} + \Var{yD}}{2} = \Var{yJ} \qquad + \] + \item D'après la question précédente, les segments $[AB]$ et $[CD]$, les diagonales du quadrilatère $ACBD$ on le même milieu. + + Or un quadrilatère qui a ses diagonales qui se coupent en leur milieu est un parallélogramme. + + Donc $ACBD$ est un parallélogramme. + \item Calculons les longueurs $AC$ et $CB$ + %- set AC2 = (xA- xC)**2 + (yA - yC)**2 + \[ + AC = \sqrt{(\Var{xA} - \Var{xC})^2 + (\Var{yA} - \Var{yC})^2} = \sqrt{(\Var{xA - xC})^2 + (\Var{xA - xC})^2} = \sqrt{\Var{(xA - xC)**2} + \Var{(yA - yC)**2}} = \sqrt{\Var{AC2}} + \] + %- set BC2 = (xB- xC)**2 + (yB - yC)**2 + \[ + BC = \sqrt{(\Var{xB} - \Var{xC})^2 + (\Var{yB} - \Var{yC})^2} = \sqrt{(\Var{xB - xC})^2 + (\Var{xB - xC})^2} = \sqrt{\Var{(xB - xC)**2} + \Var{(yB - yC)**2}} = \sqrt{\Var{BC2}} + \] + Donc le triangle $ABC$ est un triangle isocèle. + + Calculons la longueur $AB$ + %- set AB2 = (xA- xB)**2 + (yA - yB)**2 + \[ + AB = \sqrt{(\Var{xA} - \Var{xB})^2 + (\Var{yA} - \Var{yB})^2} = \sqrt{(\Var{xA - xB})^2 + (\Var{xA - xB})^2} = \sqrt{\Var{(xA - xB)**2} + \Var{(yA - yB)**2}} = \sqrt{\Var{AB2}} + \] + + On sait que $AC = \sqrt{\Var{AC2}}$, $BC = \sqrt{\Var{BC2}}$ et $AB = \sqrt{\Var{AB2}}$ + + Or + + \[AC^2 + BC^2 = \sqrt{\Var{AC2}}^2 + \sqrt{\Var{BC2}}^2 = \Var{AC2} + \Var{BC2} = \Var{AC2 + BC2}\] + + \[AB^2 = \sqrt{\Var{AB2}}^2= \Var{AB2}\] + + donc $AC^2 + BC^2 = AB^2$ donc d'après le théorème de Pythagore, $ABC$ est un triangle rectangle en $C$. + + On en déduit donc que le triangle $ABC$ est un triangle isocèle et rectangle en $C$. + + \item On sait que le parallélogramme $ACBD$ a donc deux côtés consécutifs de même longueur donc c'est un losange. + + De plus on sait que le parallélogramme $ACBD$ a un angle droit, c'est donc un rectangle. + + Comme le parallélogramme $ACBD$ est un losange et un rectangle, c'est donc un carré. + \end{enumerate} \end{solution} \end{document}