\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\author{Benjamin Bertrand}
\title{Vecteur et coordonnées - Cours}
\date{avril 2022}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\maketitle
\setcounter{section}{1}
\section{Opération sur les coordonnées de vecteurs}

\begin{propriete}[Addition de vecteurs]
    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
    Soient $\vect{u} \vectCoord{x_u}{y_u}$ et $\vect{v}\vectCoord{x_v}{y_v}$ deux vecteurs alors 
    \[
        \vect{u}+\vect{v} \quad \vectCoord{x_u + x_v}{y_u + y_v}
    \]
    On peut faire un calcul similaire pour la soustraction de vecteurs.
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{0.4\linewidth}
        \begin{tikzpicture}
            \repereOIJ{-1}{5}{-1}{5}
            \draw [->, very thick] (1, 1) -- node [midway, below] {$\vect{u}$} (3, 2);
            \draw [->, very thick] (3, 2) -- node [midway, below] {$\vect{v}$} (4, 4);
            \draw [->, very thick] (1, 1) -- node [midway, above left] {$\vect{u} + \vect{v}$} (4, 4);
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}
\end{propriete}

\paragraph{Exemple}:~
Soient 3 vecteurs $\vect{u} \vectCoord{2}{4}$, $\vect{v} \vectCoord{1}{-2}$ et  $\vect{w} \vectCoord{-6}{5}$. Calculer les coordonnées des vecteurs suivants:

\begin{itemize}
    \item $\vect{u} + \vect{v}  $
        \\[0.5cm]
    \item $\vect{u} + \vect{v} - \vect{w} $
        \\[0.5cm]
\end{itemize}

\afaire{compléter les exemples}

\begin{definition}[Multiplication par un réel]
    Soient $\vect{u}\vectCoord{x}{y}$ un vecteur et $k$ un nombre réel. Alors le vecteur $k\vect{u}$ est le vecteur de coordonnées
    \[
        k\vect{v}\quad \vectCoord{kx}{ky}
    \]
    On dira alors que $\vect{u}$ et $k\vect{u}$ sont \textbf{colinéaires}.
\end{definition}

\paragraph{Exemple}:~
On reprend les vecteurs de l'exemple précédent. Calculer les coordonnées des vecteurs suivants
\begin{itemize}
    \item $5\vect{u} $
        \\[0.5cm]
    \item $\vect{u} + 2\vect{v}$
        \\[0.5cm]
\end{itemize}
\afaire{compléter les exemples}

\paragraph{Remarque:} Si l'on a $\vect{AI} = \dfrac{1}{2} \vect{AB}$, alors \dotfill

\afaire{compléter la phrase}
\end{document}