\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\author{Benjamin Bertrand}
\title{Vecteur et coordonnées - Cours}
\date{avril 2022}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\maketitle

\section{Coordonnées de vecteurs}

\begin{definition}[Coordonnées de vecteur]
    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
        On se place dans un repère $(O, \vect{i}, \vect{j})$, alors les coordonnées du vecteur $\vect{u}$ sont notées $\vectCoord{x}{y}$ où
        \begin{itemize}
            \item $x$ correspond la longueur du déplacement de $\vect{u}$ dans la direction $\vect{OI}$.
            \item $y$ correspond la longueur du déplacement de $\vect{u}$ dans la direction $\vect{OJ}$.
        \end{itemize}
        On note aussi 
        \[
            \vect{u} = x \vect{i} + y \vect{j}
        \]
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{0.4\linewidth}
        \begin{tikzpicture}
            \repereOIJ{-1}{5}{-1}{5}
            \draw [->, very thick] (1, 2) -- node [midway, above] {$\vect{u}$} (4, 4);
            \draw [thick] (1, 2) -- node [midway, below] {$x$} (4, 2);
            \draw [thick] (4, 2) -- node [midway, right] {$y$} (4, 4);
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}
\end{definition}

\paragraph{Exemples}:~

\begin{minipage}{0.4\linewidth}
    \begin{tikzpicture}
        \repereOIJ{-1}{5}{-1}{5}
        \draw [->, very thick] (1, 2) -- node [midway, above] {$\vect{u}$} (4, 3);
        \draw  (4, 2) node {x} node [below right] {$A$}; 
        \draw (2, 0) node {x} node [below left] {$B$};
    \end{tikzpicture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
    \begin{itemize}
        \item Coordonnée du vecteur $\vect{u}$
            \\[0.5cm]
        \item Coordonnée du vecteur $\vect{OA}$
            \\[0.5cm]
        \item Coordonnée du vecteur $\vect{AB}$
            \\[0.5cm]
        \item Vecteur $\vect{v}$ de coordonnées $\vectCoord{1}{4}$
    \end{itemize}
\end{minipage}

\afaire{Trouver les coordonnées manquantes et tracer le vecteur $\vect{v}$}

\begin{propriete}[ Calculer les coordonnées d'un vecteur ]
    On se place dans un repère $(O, \vect{i}, \vect{j})$. On définit deux points $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$ du plan.

    Alors les coordonnées du vecteur $\vect{AB}$ sont (attention l'ordre est important):
    \[
        \vectCoord{x_B - x_A}{y_B - y_A}
    \]
\end{propriete}

\paragraph{Exemples}:~
Soient $A(2; 4)$ et $B(-2; 10)$ calculons les coordonnées du vecteur $\vect{AB}$

\afaire{Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{AB}$}

\end{document}