\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\author{Benjamin Bertrand}
\title{Analyse des résultats d'un test}
\date{Avril 2022}

\pagestyle{empty}


\begin{document}

\maketitle

\begin{definition}[Paramètre d'un test - inférence Bayésienne]
    On considère un test qui analyse la situation et donne deux résultats: Positif ou négatif. Une test ne peut par être sûr à 100\%, il y a donc 4 cas possibles:

    \begin{minipage}{0.45\linewidth}
        \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
            \hline
            & Sujet positif & Sujet négatif & Total \\
            \hline
            Test positif & Vrai positif & Faux positif &\\
            \hline
            Test négatif & Faux négatif & Vrai négatif & \\
            \hline
            Total & & &\\
            \hline
        \end{tabular}
        \medskip

        Ce tableau est appelé \textbf{tableau de contingence.}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
    \textbf{Critères de fiabilités}
        \begin{itemize}
            \item Sensibilité: probabilité qu'une personne infectée soit testée positive
                \[
                    \mbox{sensibilité} = \frac{\mbox{nombre de vrai positifs}}{\mbox{nombre de positif}}
                \]
            \item Spécificité: probabilité qu'une personne saine soit testée négative (vrai négatif / négatif)
                \[
                    \mbox{spécificité} = \frac{\mbox{nombre de vrai négatifs}}{\mbox{nombre de négatif}}
                \]
        \end{itemize}
    \end{minipage}
        
\end{definition}

\begin{doc}{Test médical}
    Un médecin cherche à déterminer si une IA est fiable. Pour cela, il a choisi 1000 dossiers de patients dont il sait que 92 d'entres eux souffrent d'un cancer. L'IA quand à elle détecte 862 cas négatif. Parmi ces cas négatifs détectés, le médecin sait que 7 d'entre eux sont malade.

    Pour déterminer si une assistance est fiable, il faut que la sensibilité soit supérieur à 90\%.
\end{doc}

\begin{doc}{Détection d'un comportement potentiellement dangereux}
    Dans le cadre du maintient de la paix, les autorités ont développer une IA qui cherche à détecter les comportements potentiellement dangereux. Suite à l'entrainement de l'IA, les données de tests donnent le tableau suivant
    \begin{center}
        \begin{tabular}{|p{3cm}|c|c|c|}
            \hline
            & Sujet dangereux & Sujet non dangereux & Total\\
            \hline
            Identifier comme dangereux & 990 & 2  & \\
            \hline
            Identifier comme non dangereux & 3 & 5 & \\
            \hline
            Total & & & \\
            \hline
        \end{tabular}
    \end{center}
    L'équipe en charge du projet annonce fièrement "notre IA est presque parfaite, elle ne se trompe que dans 0.5\% des cas.
\end{doc}
\vfill

\begin{multicols}{2}
    \begin{enumerate}
        \item \textbf{Test médical}
            \begin{enumerate}
                \item Construire un tableau de contingence avec les données de l'étude.
                \item Pensez vous que cette IA peut être considérer comme une assistance fiable?
            \end{enumerate}
        \item \textbf{Comportement dangereux}
            \begin{enumerate}[leftmargin=-1pt]
                \item Que pensez vous de l'affirmation de l'équipe en charge du projet?
                \item Calculer la sensibilité puis la spécificité du système de détection.
                \item On veut maintenant utilise cette IA dans une population de \np{1000000} individus et où l'on suppose qu'il y a 100 individus dangereux.
                    \begin{enumerate}[leftmargin=-1pt]
                        \item Reproduire le tableau de contingence en complétant la dernière ligne.
                        \item Compléter ensuite les autres cases vides en utilisant la sensibilité et la spécificité du test.
                        \item Que pensez vous de l'efficacité de ce test sur cette population?
                    \end{enumerate}
                \item Même questions dans le cas d'une population de \np{100000} individus avec \np{500000} individus dangereux.
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}   
\end{multicols}

\end{document}
