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\begin{exercise}[subtitle={Probabilités}, step={1}, origin={Ma tête}, points=7, topics={ }, tags={ Probabilités }]
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Dans cet exercice les parties sont indépendantes, elles peuvent être traité séparément.
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\begin{enumerate}[label={\textbf{Partie \Alph*:}}]
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\item \textbf{répartition géographique}
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On a relevé le sexe des enfants nés en février dans 3 communes différentes et on a noté les résultats.
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On considère l'expérience aléatoire qui consiste à tirer au hasard un enfant né en février dans une de ces trois communes.
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\hspace{-1cm}
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\begin{minipage}{0.4\linewidth}
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
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\hline
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Communes & Garçons & Filles & Total \\
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\hline
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Villeouf & 432 & 456 & 888\\
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\hline
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Betedeville & 11 & 10 & 21\\
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\hline
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Sacrévillage & 54 & 70 & 124\\
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\hline
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Total & 497 & 536 & 1033\\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.6\linewidth}
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer l'univers de cette expérience aléatoire.
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\item Calculer la probabilité des évènements suivants
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\hspace{-1cm}
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\begin{tasks}[label={\Alph*=}]
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\task $\left\{ \mbox{ l'enfant est une fille} \right\}$
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\task $\left\{ \mbox{ l'enfant est né à Betedeville} \right\}$
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\task $\left\{ \mbox{ l'enfant est un garçon et il est né à Villeouf}\right\}$
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%\task $\left\{ \mbox{ l'enfant est une fille ou il est né à Sacrévillage} \right\}$
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\end{tasks}
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\end{enumerate}
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\end{minipage}
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\item \textbf{fonder une famille}
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M.Dupont et Mme Dupont souhaitent avoir 3 enfants. Ils se sont renseignés, chaque enfants a autant de chance d'être un garçon qu'une fille.
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On associe ce souhait d'avoir 3 enfants à une expérience aléatoire où l'on s'intéressera au sexe des enfants.
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\begin{enumerate}
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\item En utilisant un arbre de probabilité, déterminer l'univers de cette expérience aléatoire.
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\item Quelle est la loi de probabilité de cette expérience aléatoire?
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\item Quelle est la probabilité pour que le couple ait 2 filles?
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% \item Quelle est la probabilité que leur deuxième enfant soit un garçon?
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\item Quelle est la probabilité pour que les deux ainés (les deux enfants nés en premier) soient du même sexe?
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}[label={\textbf{Partie \Alph*:}}]
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Univers $\Omega$ est composé des éléments suivants
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\begin{itemize}
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\item Garçon né à Villeouf
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\item Garçon né à Bettedeville
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\item Garçon né à Sacrévillage
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\item Fille né à Villeouf
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\item Fille né à Bettedeville
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\item Fille né à Sacrévillage
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\end{itemize}
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\item Probabilités
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\[
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P(A) = \frac{536}{1033} \qquad P(B) = \frac{21}{1033} \qquad P(C)= \frac{432}{1033}
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\]
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\end{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item En notant $F$ une fille et $G$ un garçon. L'univers est
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\[
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\Omega = \left\{ FFF, FFG, FGF, FGG, GFF, GFG, GGF, GGG \right\}
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\]
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\item Loi de probabilités
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|c|*{8}{c|}}
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\hline
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Issues & FFF & FFG & FGF & FGG & GFF & GFG & GGF & GGG \\
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\hline
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Probabilités & $\frac{1}{8}$ & $\frac{1}{8}$ & $\frac{1}{8}$ & $\frac{1}{8}$ & $\frac{1}{8}$ & $\frac{1}{8}$ & $\frac{1}{8}$ & $\frac{1}{8}$ \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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\item La probabilités d'avoir deux filles est de $\frac{3}{8}$
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\item La probabilité d'avoir les deux ainés du même sexe est de $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Vecteurs}, step={1}, origin={Un livre}, topics={Vecteur hors repère}, tags={ Vecteurs }, points=4]
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\noindent
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\begin{minipage}{0.6\linewidth}
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\begin{enumerate}
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\item À partir de la figure ci-contre trouver deux vecteurs correspondant aux descriptions suivantes
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\begin{enumerate}
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\item égal au vecteur $\vect{BC}$
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\item opposé à $\vect{FC}$
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\item même direction et même sens que $\vect{EF}$
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\end{enumerate}
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\item Quelle est l'image du point $C$ par la translation de vecteur $\vect{u}$
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\item Donner un vecteur correspondant aux calculs suivants
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\begin{tasks}(3)
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\task $\vect{ED} + \vect{DA}$
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\task $\vect{EF} + \vect{ED}$
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\task $2\vect{u}$
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\end{tasks}
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\end{enumerate}
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.35\linewidth}
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\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
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\draw (0, 0) grid (6, 6);
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\draw (0, 0) rectangle (6, 6);
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\draw (4, 5) node {x} node [above right] {$A$};
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\draw (2, 1) node {x} node [below right] {$B$};
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\draw (4, 1) node {x} node [below right] {$C$};
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\draw (2, 5) node {x} node [below right] {$D$};
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\draw (1, 3) node {x} node [above right] {$E$};
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\draw (5, 3) node {x} node [above right] {$F$};
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\draw [->, very thick] (1, 1) -- node [midway, left] {$\vect{u}$} ++(1, 2);
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\draw [->, very thick] (1, 4) -- node [midway, below right] {$\vect{v}$} ++ (2, 0);
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item Vecteurs correspondant aux descriptions
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\begin{enumerate}
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\item $\vect{BC} = \vect{v} = \vect{DA}$
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\item $\vect{u} = \vect{CF} = \vect{ED}$
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\item $\vect{v}$ ou $\vect{BC}$ ou $\vect{DA}$
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\end{enumerate}
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\item L'image est le point $F$.
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\item
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\begin{enumerate}
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\item $\vect{ED} + \vect{DA} = \vect{EA}$
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\item $\vect{EF} + \vect{DE} = \vect{EC}$
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\item $2\vect{u} = \vect{BA}$
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Géométrie}, step={1}, origin={Ma tête}, points=4, topics={ Démonstration}, tags={ Géométrie }]
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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$ABCD$ est un quadrilatère. Ses diagonales se coupent en un point $O$. On nous dit de plus que
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\begin{tasks}[style=itemize]
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\task $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles
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\task $(AD)$ et $(BC)$ sont parallèles
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\task $AB=4$
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\task $DA=3$
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\task $OB = 2,5$
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\end{tasks}
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Amine a réalisé la figure à main levée ci-contre.
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\includegraphics[scale=0.1]{./fig/dessin}
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\end{minipage}
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\begin{tasks}
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\task Démontrer que $DABC$ est un parallélogramme.
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\task Démontrer que $DAB$ est un triangle rectangle.
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\task (bonus) Démontrer que $AC = DB$
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\end{tasks}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item On sait que $ABCD$ est un quadrilatère, que $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles et que $(AD)$ et $(BC)$ sont parallèles.
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Or un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses cotés opposées parallèles.
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Donc $ABCD$ est un parallélogramme.
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\item On sait que $ABCD$ est un parallélogramme.
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Or un parallélogramme a ses diagonales qui se coupent en leur milieu
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Donc $O$ est le milieu de $[BD]$ et donc $BD = 5$.
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On sait que $DA = 3$, $AB = 4$ et $DB = 5$ et donc que $DA^2 + AB^2 = 3^2 + 4^2 = 25$ et que $DB^2 = 5^2 = 25$
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Or d'après le théorème de Pythagone
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On en conclu que $DAB$ est un triangle rectangle en $A$
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\item On sait que $ABCD$ est un parallélogramme et que $\widehat{DAB}$ est un angle droit.
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Or un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle.
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Donc $ABCD$ est un rectangle.
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Or un rectangle a ses diagonales qui ont la même longueur.
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Donc $AC = DB$.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={QCM - questions flashs}, step={1}, origin={Ma tête}, points=5, topics={ }, tags={ QCM }]
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\emph{Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse n'ajoutent ni ne retirent aucun point.\\
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Inscrire sur la copie la référence de la question et la lettre de la réponse choisie.\\
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Aucune justification n'est demandée.}
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\begin{enumerate}
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\item La forme développé de $A = 7x - 15x (x + 2)$ est
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\begin{tasks}(4)
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\task $ -8x^2 - 14x$
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\task $ 15x^2 + 37x$
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\task $ -15x^2 - 21x$
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\task Aucune de ces trois propositions
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\end{tasks}
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\item Quelle proposition est vraie?
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\begin{tasks}(3)
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\task Un losange qui a ses diagonales qui ont la même longueur est un carré.
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\task Un rectangle qui a ses diagonales qui se coupent en leur milieu est un losange.
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\task Un parallélogramme qui a ses diagonales qui se coupent en leur milieu est un rectangle.
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\end{tasks}
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\item Soit $f$ la fonction représentée ci-dessous. La solution de l'inéquation $f(x) \geq 2$ est
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\begin{tikzpicture}
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\begin{axis}[
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axis lines = center,
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%grid = both,
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xlabel = {$x$},
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xtick distance=1,
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ylabel = {$y$},
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ytick distance=1,
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legend pos = north west,
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legend entries={$f(x)$}
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]
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\addplot[domain=-6:7,samples=40, color=red, very thick]{-0.1*(x+5)*(x-1)*(x-6)};
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\end{axis}
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\end{tikzpicture}
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|
\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\begin{tasks}
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\task $x \in \intFF{-6}{-5.5} \cup \intFF{2}{5.5}$
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\task $x \in \intFF{-5.5}{2} \cup \intFF{5.5}{7}$
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\task $x \in \left\{ -5.5; 2; 5.5 \right\}$
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\task $f(2) = 2$ et $f(0) = -3$
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\end{tasks}
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\end{minipage}
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\item On donne la formule dite des gaz parfaits $P\times V = n\times R\times T$ où $P$ est la pression, $V$ le volume, $n$ le nombre de moles, $R$ une constante et $T$ la température. Pour calculer la température, on peut utiliser la formule
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\begin{tasks}(4)
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\task $T = P\times V \times n \times R$
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\task $T = \dfrac{P \times V}{n \times R}$
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\task $T = \dfrac{n \times R}{P \times V}$
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\task Il est impossible de calculer la température
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\end{tasks}
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\item Une quantité est passée de 20\euro à 32\euro. Le taux d'évolution de cette évolution est de:
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\begin{tasks}(4)
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\task $+21\%$
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\task $+37,5\%$
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\task $+60\%$
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\task $+160\%$
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\end{tasks}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item c)
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\item a)
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\item a)
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\item b)
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\item c)
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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