2021-2022/2nd/Evaluations/DS_2022-02-07/exercises.tex

\begin{exercise}[subtitle={Géométrie}, step={1}, origin={Création}, topics={ Géométrie repérée }, tags={ Coordonnées de points }, points=7]
    % Géométrie repérée
    \noindent
    \begin{minipage}{0.45\linewidth}
        \begin{enumerate}
            \item Quelles sont les coordonnées du point $D$?
            \item Placer les points dans le repère orthonormée ci-contre.
                \[
                    A(-3; 0) \qquad B(-1; 4) \qquad C(3;2)
                \]
            \item Démontrer que $AB = \sqrt{20}$ et que $AC = \sqrt{40}$.
            \item On admet que $BC = \sqrt{20}$ (vous n'avez pas à le calculer). En déduire la nature du triangle $ABC$.
            \item Calculer les coordonnées du point $E$ milieu du segment $[AC]$.
            \item Démontrer que les diagonales du quadrilatère $ABCD$ se coupent en leur milieu.
            \item (bonus) Démontrer à partir des résultats des questions précédentes que $ABCD$ est un carré.
        \end{enumerate}
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
        \begin{tikzpicture}
            \repere{-5}{5}{-5}{5}
            \draw (1, -2) node {x} node [ below left ] {$D$};
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item ~
            \begin{tikzpicture}
                \repere{-5}{5}{-5}{5}
                \draw (1, -2) node {x} node [ below left ] {$D$};
                \draw (-3, 0) node {x} node [ below left ] {$A$};
                \draw (-1, 4) node {x} node [ below left ] {$B$};
                \draw (3, 2) node {x} node [ below left ] {$C$};
            \end{tikzpicture}
        \item 
            Distance $AB$
            \[
                AB = \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2} = \sqrt{(-3 - (-1))^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}
            \]
            Distance $AC$
            \[
                AC = \sqrt{(x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C)^2} = \sqrt{(-3 - 3)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}
            \]
            Distance $BC$
            \[
                BC = \sqrt{(x_B - x_C)^2 + (y_B - y_C)^2} = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}
            \]
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Nombre d'écrans}, step={1}, origin={Création}, topics={ Statistiques }, tags={ Moyenne, médiane }, points=7]
    % Statistiques
    On a réalisé deux études statistiques portant sur le nombre d'écrans dans les foyers de deux villes. Les résultats sont reportés ci-dessous.
    
    \medskip
    \begin{minipage}{0.45\linewidth}
        Données brutes récoltées dans la ville de Bonvoyant

        \begin{center}
            0; 4; 2; 4; 3; 1: 5: 3; 4; 5; 3; 4; 5; 5 
        \end{center}
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{0.45\linewidth}
        Données regroupées récoltées dans la ville de Viedehors

        \begin{center}
           \begin{tabular}{|c|*{5}{c|}}
                \hline
                Nombre d'écrans & 0 & 2 & 3 & 5 & 20 \\
                \hline
                Effectif & 5 & 12 & 10 & 8 & 2\\
                \hline
            \end{tabular} 
        \end{center}
    \end{minipage}
    \begin{enumerate}
        \item Décrire ces études statistiques (caractère, individus et populations).
        \item Calculer la proportion de foyers ayant deux ou moins écrans dans la ville de Viedehors.
        \item Pour chaque villes calculer les indicateurs suivants:
            \begin{multicols}{2}
                \begin{itemize}
                    \item Effectif total
                    \item Étendu
                    \item Moyenne
                    \item Médiane
                \end{itemize}    
            \end{multicols}
        \item Comparer ces deux études statistiques.
            
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Tableau et fonctions}, step={1}, origin={Création}, topics={ Tableaus de fonctions }, tags={ Tableau de signes, tableau de variation, inéquations }, points=7]
    % Tableau de fonctions
    Les questions de cet exercices sont indépendantes, elles peuvent être traitées sans avoir traité les questions précédentes.
    \begin{enumerate}
        \item On définit $f$ la fonction représentée ci-dessous.

            \begin{center}
                \begin{tikzpicture}[yscale=0.5]
                    \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
                    ymin=-5,ymax=4,ystep=1]
                    \tkzGrid
                    \tkzAxeXY
                    \draw[very thick, color=red] plot [smooth,tension=0.5, mark=*] coordinates{(-5, -4) (-4, 0) (-3, 2)   (0, -1) (1, 1)  (3, -1) (4, 1) (5, 4)};
                    \draw (4,3) node[above right] {$\mathcal{C}_f$};
                \end{tikzpicture}
            \end{center}
            \begin{enumerate}
                \item Tracer le tableau de signes de la fonction $f$
                %\item Tracer le tableau de variations de la fonction $f$
                \item Résoudre \textbf{graphiquement} l'équation et l'inéquations suivantes
                    \begin{multicols}{2}
                        \begin{enumerate}
                            \item $f(x) = 1$
                            \item $f(x) \geq -2$
                        \end{enumerate}    
                    \end{multicols}
            \end{enumerate}

        \item Tracer le tableau de signe de la fonction suivante en passant par la résolution d'une inéquation
                    \[
                        f(x) = 5x - 25
                        \]
    \end{enumerate}
\end{exercise}