Bertrand Benjamin
7596f2f8fe
All checks were successful
continuous-integration/drone/push Build is passing
235 lines
8.9 KiB
TeX
235 lines
8.9 KiB
TeX
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
|
\usepackage{myXsim}
|
|
\usepackage{pgfplots}
|
|
\pgfplotsset{compat = newest}
|
|
\usepgfplotslibrary{external}
|
|
\tikzexternalize
|
|
|
|
% Title Page
|
|
\title{DM2 \hfill \Var{Nom}}
|
|
\tribe{2nd6}
|
|
\date{À rendre pour mardi 11 janvier 2022}
|
|
|
|
\xsimsetup{
|
|
solution/print = false
|
|
}
|
|
|
|
\begin{document}
|
|
\maketitle
|
|
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Calculs de fractions}, points=2]
|
|
Détailler les calculs suivants et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
\begin{enumerate}[label={\Alph*=}]
|
|
%- set B = rdm.expression("{a} / {b} + {c}", ["a!=b", "b > 1"], global_config={"min_max":(1, 10)})
|
|
\item $\Var{B}$
|
|
|
|
%- set C = rdm.expression("{a} / {b} + {c} / {k*b}", ["a!=b", "c!=b", "b > 1"], global_config={"min_max":(1, 10)})
|
|
\item $\Var{C}$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{multicols}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
|
|
\begin{solution}
|
|
\begin{enumerate}[label={\Alph*=}]
|
|
\item $\Var{B.simplify().explain() | join('=')} = \Var{B.simplify().simplified}$
|
|
\item $\Var{C.simplify().explain() | join('=')} = \Var{C.simplify().simplified}$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Développer}, points=2]
|
|
Développer puis réduire les expressions suivantes
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
\begin{enumerate}[label={\Alph*=}]
|
|
%- set A = rdm.expression("{a}x({c}x+{d}) + {b}x", [], global_config={"min_max":(1, 10)})
|
|
\item $\Var{A}$
|
|
|
|
%- set B = rdm.expression("({a}x+{b})({c}x+{d})", [], )
|
|
\item $\Var{B}$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{multicols}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
|
|
\begin{solution}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item
|
|
\begin{align*}
|
|
A &= \Var{A.simplify().explain() | join('\\\\&=')}
|
|
\end{align*}
|
|
\item
|
|
\begin{align*}
|
|
B &= \Var{B.simplify().explain() | join('\\\\&=')}
|
|
\end{align*}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Informations chiffrées}, points=3]
|
|
Répondre aux questions suivantes en détaillant les calculs
|
|
\begin{enumerate}
|
|
%- set pourcentage = random.randint(1, 90)
|
|
%- set part = random.randint(400, 900)
|
|
%- set total = int(part / pourcentage * 100)
|
|
\item Une usine produit des pièces mécaniques. En un mois elle a produit \Var{part} pièces défectueuses ce qui représente \Var{pourcentage}\% de la production totale.
|
|
|
|
Combien de pièce cette usine produit par mois?
|
|
|
|
%- set vi = random.randint(30, 80)
|
|
%- set vf = vi + random.randint(30, 80)
|
|
%- set tx = (vf - vi)/vi
|
|
\item En 2020, on comptait \Var{vi} écureuils dans la forêt du village. En 2021, on en a compté \Var{vf}.
|
|
|
|
Quel est le taux d'évolution du nombre d'écureuils entre 2020 et 2021? Vous exprimerez le taux d'évolution en pourcentage arrondis à l'unité.
|
|
|
|
%- set init = random.randint(40, 60)
|
|
%- set evo = random.randint(70, 150)
|
|
%- set final = round(init * (1 + evo / 100), 1)
|
|
\item À la naissance, Pierre mesurait \Var{init}cm. À deux ans, il a grandit de \Var{evo}\% de sa taille à la naissance.
|
|
|
|
Combien mesure-t-il à deux ans? Vous arrondirez votre résultat au millimètre.
|
|
|
|
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
|
|
\begin{solution}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item
|
|
\[
|
|
\mbox{nombre de pièces total} = \frac{\Var{part} \times 100}{\Var{pourcentage}} \approx \Var{total}
|
|
\]
|
|
\item
|
|
\[
|
|
\mbox{Taux d'évolution} = \frac{\Var{vf} - \Var{vi}}{\Var{vi}} = \Var{tx} \approx \Var{int(round(tx*100, 0))}\%
|
|
\]
|
|
\item
|
|
\[
|
|
\mbox{Taille à deux ans} = \Var{init} \times \left(1 + \frac{\Var{evo}}{100}\right) = \Var{final}
|
|
\]
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Tableaux}, points=3]
|
|
%- set f = rdm.expression("{a}(x-{b})(x-{c})", ["b != c"], global_config={"min_max":(-5, 5), "rejected": [-1, 0, 1]}).simplify()
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Tracer le tableau de signes puis le tableau de variations de la fonction représentée ci-dessous
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\begin{axis}[
|
|
axis lines = center,
|
|
%grid = both,
|
|
xlabel = {$x$},
|
|
ylabel = {$y$},
|
|
]
|
|
\addplot[domain=-6:6,samples=80, color=red, very thick]{\Var{f[2]}*(x - \Var{f.roots[1]})*(x - \Var{f.roots[0]})};
|
|
\end{axis}
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
\item La fonction a-t-elle un minimum ou un maximum sur l'intervalle $\intFF{-6}{6}$? Quelle est sa valeur? Pour quelle valeur de $x$ est-il atteint?
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{solution}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Tableau de signes
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,Signes de $ f(x) $/2}{, $\Var{f.roots[0]}$, $\Var{f.roots[1]}$ ,}
|
|
%- if f[2] > 0
|
|
\tkzTabLine{, +, z, -, z, + }
|
|
%- else
|
|
\tkzTabLine{, -, z, +, z, - }
|
|
%- endif
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
\item Tableau de variations
|
|
%- set f_derv = f.differentiate()
|
|
%- set extremum_x = f_derv.roots[0]
|
|
%- set extremum_y = f(f_derv.roots[0])
|
|
%- set f6 = f(6)
|
|
%- set fm6 = f(-6)
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$ x $/1, Variations de $ f(x) $/2}{-6, $\Var{extremum_x}$, 6}
|
|
%- if f[2] > 0
|
|
\tkzTabVar{ +/$\Var{fm6}$, -/$\Var{extremum_y}$, +/$\Var{f6}$}
|
|
%- else
|
|
\tkzTabVar{ -/$\Var{fm6}$, +/$\Var{extremum_y}$, -/$\Var{f6}$}
|
|
%- endif
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
\end{itemize}
|
|
\item
|
|
%- if f[2] > 0
|
|
La fonction a un minimum.
|
|
%- else
|
|
La fonction a un maximum.
|
|
%- endif
|
|
Il vaut $\Var{extremum_y}$ et est atteint en $x = \Var{extremum_x}$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Inéquation et tableaux}, points=2]
|
|
Tracer le tableau de signe des fonctions suivantes en le démontrant à l'aide de la résolution d'une inéquation.
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
%- set f = rdm.expression("x + {a}", global_config={"min_max":(1, 20)})
|
|
\item $f(x) = \Var{f}$
|
|
%- set g = rdm.expression("{a}x + {b}", global_config={"min_max":(1, 20)})
|
|
\item $g(x) = \Var{g}$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{multicols}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{solution}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item
|
|
Pour déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est positive, il faut résoudre l'inéquation
|
|
|
|
%- set racine = -f[0]
|
|
\begin{align*}
|
|
f(x) & \geq 0 \\
|
|
\Var{f} & \geq 0 \\
|
|
\Var{f + racine} &\geq \Var{0 + racine} \\
|
|
\end{align*}
|
|
Donc $f(x)$ est positif quand $x$ est supérieur à $\Var{racine}$. On en déduit le tableau de signe
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ t $/1,$ f(t) $/1}{, $\Var{racine}$ ,}
|
|
\tkzTabLine{, -, z, +, }
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
\item
|
|
Pour déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $g(x)$ est positive, il faut résoudre l'inéquation
|
|
|
|
%- set cst = -g[0]
|
|
%- set coef = g[1]
|
|
%- set racine = cst / coef
|
|
\begin{align*}
|
|
g(x) & \geq 0 \\
|
|
\Var{g} & \geq 0 \\
|
|
\Var{g + cst} &\geq \Var{0 + cst} \\
|
|
\frac{\Var{g + cst}}{\Var{coef}} &\geq \frac{\Var{cst}}{\Var{coef}} \\
|
|
x &\geq \Var{racine.simplify()} \\
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
Donc $f(x)$ est positif quand $x$ est supérieur à $\Var{racine}$. On en déduit le tableau de signe
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ t $/1,$ g(t) $/1}{, $\Var{racine}$ ,}
|
|
\tkzTabLine{, -, z, +, }
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\end{document}
|