Bertrand Benjamin
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103 lines
4.6 KiB
TeX
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\begin{exercise}[subtitle={Cducosto}, step={1}, origin={Création?}, topics={Fonctions}, tags={Tableau de signes, Tableau de variations, inéquations}, points=5]
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L'entreprise Cducosto produit des outils de bricolages.
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\begin{enumerate}
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\item Leur premier produit est un marteau. Voici les tableaux décrivant le signe et les variations des bénéfices (notés $B(x)$) en fonction du nombre de marteau qu'elle produit et vend.
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[]{$x$/1,Signes de $B(x)$/2}{0, 30, 120, 150}
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\tkzTabLine{, -, z, +, z, -,}
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\end{tikzpicture}
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\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
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\tkzTabInit[]{$ x $/1, Variations de $ B(x) $/2}{0, 75, 150}
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\tkzTabVar{ -/-175, +/100, -/-175}
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\begin{enumerate}
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\item Si l'entreprise produit 10 marteaux, fait-elle des bénéfices?
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\item Sur quel intervalle doit-elle produire pour que ses bénéfices soient positifs?
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\item Quelle quantité de marteaux doit-elle produire pour faire un maximum de bénéfices?
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\end{enumerate}
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\item Leur deuxième produit est une visseuse automatique. Le bénéfice liés à cet outil est donné par la fonction suivante:
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\begin{eqnarray*}
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f:x & \mapsto & 2x - 3
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\end{eqnarray*}
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\begin{enumerate}
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\item Tracer et démontrer le tableau de signes de cette fonction.
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\item À partir de combien de visseuses l'entreprise fait-elle du bénéfice?
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[xscale=1]
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\begin{axis}[
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xscale=2,
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axis lines = center,
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%grid = both,
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xlabel = {Quantité},
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%xtick={0, 20, ..., 150},
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xtick distance=10,
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ylabel = {Bénéfices},
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ytick distance=50,
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ymax=150,
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grid=major
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]
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\addplot[domain=0:150,samples=40, color=red, very thick]{-0.05*x*x + 7.5*x - 180};
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\end{axis}
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\begin{enumerate}
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\item Pour que les bénéfices soient positifs , il faut que la production reste sur l'intervalle $\intFF{3}{120}$
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\end{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item
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On cherche là où la fonction $f$ est positive
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\begin{eqnarray*}
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f(x) & > &0\\
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2x - 3 & > & 0 \\
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2x & > & 3 \\
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&& \mbox{2 est positif, on ne change}\\
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&& \mbox{le sens de l'inégalité}\\
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x &>& \frac{3}{2} = 1,5
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\end{eqnarray*}
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Donc $f(x)$ est positive quand $x$ est supérieur à 1.5.
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[]{$x$/1,$f(x)$/1}{0, {1,5}, $+\infty$}
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\tkzTabLine{ ,-, z, +,}
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\end{tikzpicture}
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\item
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À partir de 2 visseuses l'entreprise fait des bénéfices (là où dans le tableau au dessus il y a un +)
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Tableaux}, step={1}, origin={Création?}, topics={Fonctions}, tags={Tableau de signes, Tableau de variations}, points=5]
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\begin{enumerate}
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\item Tracer le tableau de signes puis le tableau de variation de la fonction suivante
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[yscale=0.5]
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\tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
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ymin=-5,ymax=4,ystep=1]
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\tkzGrid
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\tkzAxeXY
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\draw[very thick, color=red] plot [smooth,tension=0.5, mark=*] coordinates{(-4, -4) (-3.5, -3) (-3, 0) (-2, 1) (-1, 0) (0, -3) (1, -1) (2, -3) (2.5,0) (3, 2) (4, 3)};
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\draw (4,3) node[above right] {$\mathcal{C}_f$};
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\item En utilisant la calculatrice tracer le tableau de signe puis le tableau de variation de la fonction
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\[
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g(x) = x^3 + x^2 - 2x
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\]
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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