2022-2023/1NSI/09_Recherche_par_dichotomie.../1B_complexite.tex

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2023-03-15 08:00:49 +00:00
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\usepackage{minted}
\author{Benjamin Bertrand}
\title{Recheche par dicotomie et complexité - Cours}
\date{Mars 2023}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\maketitle
\section{Complexité}
\begin{definition}[Ordre de complexité]
On dit qu'un algorithme est d'une \textbf{compléxité de l'ordre de $f(n)$} si il existe une constante positive K telle que, quelle que soit la taille n de l'entrée, le nombre d'opérations élémentaires est plus petit que $K \times f(n)$.
On dit alors que l'algorithme est en $\mathcal{O}(f(n))$.
\end{definition}
\section{Etude de la complexité}
\begin{enumerate}
\item Recherche du maximum d'une liste
\begin{multicols}{2}
\inputminted[bgcolor=base3]{python}{./algos/1B_max.py}
Calcul de la compléxité
\end{multicols}
\item Moyenne
\begin{multicols}{2}
\inputminted[bgcolor=base3]{python}{./algos/1B_max.py}
Calcul de la compléxité
\end{multicols}
\item Table de multiplication
\begin{multicols}{2}
\inputminted[bgcolor=base3]{python}{./algos/1B_table.py}
Calcul de la compléxité
\end{multicols}
\item Recherche par dichotomie
\begin{multicols}{2}
\inputminted[bgcolor=base3]{python}{./algos/1B_dicho.py}
Calcul de la compléxité
\end{multicols}
\end{enumerate}
\section{Les complexités courantes}
Dans la pratique, on ne choisira que des fonctions $f(n)$ simples prise dans la liste suivante (classé par ordre croissant de rapidité):
\begin{itemize}
\item $\mathcal{O}(1)$: complexité constante. Le temps d'exécution est indépendant de $n$ (la taille de l'entrée).
\textbf{Exemples}:
\item $\mathcal{O}(log(n))$: complexité logarithmique. Le temps d'exécution augmente d'une quantité constante quand la taille de l'entrée ($n$) est doublée.
\textbf{Exemple}:
\item $\mathcal{O}(nlog(n))$: complexité linéaire. Le temps d'exécution est proportionnel à la taille de l'entrée ($n$)
\textbf{Exemples}:
\item $\mathcal{O}(n^2)$: complexité quadratique. Le temps d'exécution est multiplié par 4 quand la taille de l'entrée est multipliée par 2.
\textbf{Exemples}:
\item $\mathcal{O}(n^k)$: complexité polynomiale. Le temps d'exécution est majoré par un polynôme de la taille d'entrée.
\textbf{Exemples}:
\item $\mathcal{O}(k^n)$: complexité exponentielle. Le temps d'exécution croit trop rapidement pour que la taille d'entrée puisse être grand.
\textbf{Exemples}:
\end{itemize}
\paragraph{Temps d'exécution en fonction de la taille d'entrée}~
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.9]{./fig/complexite}
\end{center}
\end{document}