2022-2023/2nd/15_Intervalles_et_nombres_reels/exercises.tex

\begin{exercise}[subtitle={Inéquation graphique}, step={1}, origin={Camille}, topics={ Intervalles et nombres réels }, tags={ Inéquation, Intervalle, Nombres }, mode={\searchMode}]
    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
        On a représenté ci-contre la fonction $f$.
        \begin{enumerate}
            \item Résoudre l'inéquation $f(x) \geq 1$
                \begin{enumerate}
                    \item Décrire l'ensemble des solutions sous forme d'un intervalle.
                    \item Recopier et compléter la phrase suivante
                        \begin{center}
                            $f(x)$ est plus petit ou égal à 1 lorsque $x$ est plus grand que ... et plus petit que ...
                        \end{center}
                    \item Recopier et compléter la phrase suivante
                        \begin{center}
                            $\ldots \leq x \leq \ldots$ si et seulement si $f(x) \leq 1$
                        \end{center}
                    \item Représenter les solutions de l'inéquation sur un axe gradué.

                        \begin{tikzpicture}[xscale=0.7]
                            \draw[gray](-5.5,0)grid(4.5,0);
                            \draw[-stealth]|-(4.5,0)node[above]{$x$};
                            \foreach \x in {-5,...,4} \draw (\x,-.1) -- (\x,0);
                        \end{tikzpicture}
                \end{enumerate}
        \end{enumerate}
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{0.4\linewidth}
        \begin{tikzpicture}[xscale=1.3]
            \tkzInit[xmin=-2.5,xmax=2.5,xstep=1,
            ymin=-1.3,ymax=4.2,ystep=1]
            \tkzGrid[sub]
            \tkzAxeXY
            \tkzFct[domain = -3:3,color=red,very thick]%
            {x**2 - 1};
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}
    \begin{enumerate}
        \setcounter{enumi}{1}
        \item Reprendre les questions précédentes avec l'inéquation $f(x) > 1$.
        \item Quels sont les différences entres les solutions de l'inéquation $f(x) \geq 1$ et $f(x) > 1$?
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Représentation d'intervalles}, step={1}, origin={Camille}, topics={ Intervalles et nombres réels }, tags={ Inéquation, Intervalle, Nombres }, mode={\trainMode}]
    Compléter le tableau suivant

    \newcommand{\Raxe}{%
        \begin{tikzpicture}[xscale=0.7]
            \draw[gray](-5.5,0)grid(4.5,0);
            \draw[-stealth]|-(4.5,0)node[above]{$x$};
            \foreach \x in {-5,...,4} \draw (\x,-.1) -- (\x,0);
        \end{tikzpicture}
    }

    \begin{tabular}{|p{6cm}|c|c|c|}
        \hline
        En français & Inégalité & sur la droite & Notation \\
        \hline
        Ensemble des réels strictement plus grand que -1 & & \Raxe & \\
        \hline
                    & $-2 \leq x \leq$ 1 &  \Raxe & \\
        \hline
                    & $1 \leq x < 3$ &  \Raxe & \\
        \hline
                    &  &  \Raxe & $x\in \intOO{2}{5}$\\
        \hline
                    &  &  \Raxe & $x\in \intFO{2}{+\infty}$\\
        \hline
                    & &
                    \begin{tikzpicture}[xscale=0.7]
                        \draw[gray](-5.5,0)grid(4.5,0);
                        \draw[-stealth]|-(4.5,0)node[above]{$x$};
                        \foreach \x in {-5,...,4} \draw (\x,-.1)node[below]{\x} -- (\x,0);
                        \draw[very thick, color=red](-5.5, 0) -- (3, 0) node {\large \textbf [};
                    \end{tikzpicture}
                    & \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Inéquations}, step={1}, origin={Classique}, topics={ Intervalles et nombres réels }, tags={ Inéquation, Intervalle, Nombres }, mode={\trainMode}]
    Résoudre les inéquations suivantes et donner la réponse sous forme d'un axe gradué et d'un intervalle.
    \begin{multicols}{4}
        \begin{enumerate}
            \item $4x + 5 > 0$
            \item $-4x + 5 \geq 5$
            \item $0.3x + 4 \leq 0.1x$
            \item $-8x + 5 < 7$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Union et intersection}, step={2}, origin={Ma tête}, topics={ Intervalles et nombres réels }, tags={ Inéquation, Intervalle, Nombres }, mode={\trainMode}]
    Représenter les intervalles suivants sur l'axe des réels puis si c'est possible, proposer une écriture plus simple.
    \begin{multicols}{4}
        \begin{enumerate}
            \item $\intFF{2}{5} \cap \intFO{3}{8}$
            \item $\intOF{-\infty}{3} \cap \intFO{-4}{3}$
            \item $\intFF{-2}{4} \cup \intOO{3}{7}$
            \item $\intFF{-3}{0} \cup \intFO{3}{+\infty}$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Inéquation graphique le retour!}, step={2}, origin={Ma tête}, topics={ Intervalles et nombres réels }, tags={ Inéquation, Intervalle, Nombres }, mode={\trainMode}]
    \begin{minipage}{0.4\linewidth}
        Sur le graphique ci-contre, on a tracé les représentations de 3 fonctions $f$, $g$ et $h$.

        Résoudre les inéquations suivantes en utilisant le graphique, vous donnerez les solutions sous forme d'intervalles.
        \begin{enumerate}
            \item $f(x) < 3$
            \item $f(x) \geq 0$
            \item $g(x) > 0$
            \item $g(x) \leq 1$
            \item $h(x) < f(x)$
            \item $h(x) \geq -2$
        \end{enumerate}
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
        \begin{tikzpicture}[xscale=1.5, yscale=0.8]
            \tkzInit[xmin=-3,xmax=3,xstep=1,
            ymin=-3,ymax=4,ystep=1]
            \tkzGrid
            \tkzAxeXY
            \tkzFct[domain = -3:3,color=red,very thick]{x**2 - 1};
            \tkzText(-1.8, 3.2){$\mathcal{C}_f$};

            \tkzFct[domain = -3:3,color=green,very thick]{0.5*x+1};
            \tkzText(2.5, 1.8){$\mathcal{C}_g$};

            \tkzFct[domain = -3:3,color=blue,very thick]{exp(x)-2};
            \tkzText(-2.5, -1.5){$\mathcal{C}_h$};
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Droite des réels}, step={3}, origin={Ma tête}, topics={ Intervalles et nombres réels }, tags={ Inéquation, Intervalle, Nombres }, mode={\trainMode}]
    On a tracé un axe des nombres réels.za

    \begin{tikzpicture}
        \draw[gray](0,0)grid(18.5,0);
        \draw[-stealth]|-(18.5,0)node[above]{$x$};
        \foreach \x in {0,...,18} \draw (\x,-.1) -- (\x,0);
        \draw (8, 0) node[below] {0};
        \draw (14, 0) node[below] {1};
        \draw (10, 0) node{$\bullet$} node[above] {B};
        \draw (1, 0) node{$\bullet$} node[above] {A};
    \end{tikzpicture}

    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item Représenter les nombres suivants sur cette droite :
                \[
                    -1 \qquad \frac{1}{6} \qquad \frac{-2}{3} \qquad \frac{3}{2} \qquad \frac{7}{6} \qquad \frac{4}{3}
                \]
            \item A quel nombre peut-on associer les points $A$ et $B$ ?
            \item (*) Tracer l'ensemble des points à une distance strictement inférieur à $\dfrac{1}{2}$ du point $B$. Décrire cet ensemble sous forme d'un intervalle.
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Appartenance}, step={3}, origin={Ma tête}, topics={ Intervalles et nombres réels }, tags={ Inéquation, Intervalle, Nombres }, mode={\trainMode}]
    Compléter à l'aide du signe $\in$ ou $\not \in$.
    \begin{multicols}{4}
        \begin{enumerate}[label={\alph*)}]
            \item $2 \ldots \intOO{-1}{3}$
            \item $\dfrac{1}{3} \ldots \intFO{1}{3}$

            \item $2 \ldots \intOO{-2}{2}$
            \item $0 \ldots \intFO{0}{+\infty}$

            \item $100 \ldots \intOO{-\infty}{1}$
            \item $\dfrac{1}{10} \ldots \intFO{0.01}{0.2}$

            \item $-1 \ldots \intOO{-1}{0}$
            \item $\dfrac{-3}{3} \ldots \intFF{-1}{3}$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\pagebreak
\end{exercise}


\begin{exercise}[subtitle={Équations graphiques}, step={4}, origin={Ma tête}, topics={ Intervalles et nombres réels }, tags={ Inéquation, Intervalle, Nombres }, mode={\trainMode}]
  Résoudre les inéquations en utilisant les tableaux de signes
  \begin{multicols}{2}
    \begin{enumerate}
      \item $f(x) \leq 0$
        \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
          \tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,$ f(f) $/1}{-5, 1, 2, $+\infty$}
          \tkzTabLine{, +, z, -, z, + , }
        \end{tikzpicture}
      \item $g(x) < 0$
        \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
          \tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,$ g(f) $/1}{$-\infty$, 0, 10, $+\infty$}
          \tkzTabLine{, -, z, +, z, - , }
        \end{tikzpicture}
      \item $z(t) > 0$
        \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
          \tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ t $/1,$ z(t) $/1}{-5, -1, 3, 4, 5}
          \tkzTabLine{, +, z, -, z, +, z, - , }
        \end{tikzpicture}
      \item $z(t) \leq 0$
        \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
          \tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ t $/1,$ z(t) $/1}{0, 1, 2, 3, 4}
          \tkzTabLine{, -, z, +, z, -, z, + , }
        \end{tikzpicture}
    \end{enumerate}
  \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Équations et tableau de signes}, step={4}, origin={Ma tête}, topics={ Intervalles et nombres réels }, tags={ Inéquation, Intervalle, Nombres }, mode={\trainMode}]
    \begin{minipage}{0.4\linewidth}
        Sur le graphique ci-contre, on a tracé les représentations de 3 fonctions $f$, $g$ et $h$.

        Résoudre les inéquations suivantes en utilisant le graphique, vous donnerez les solutions sous forme d'intervalles.
        \begin{enumerate}
            \item $f(x) < 1$
            \item $f(x) \geq 0$
            \item $g(x) \leq 1$
            \item $g(x) > 0$
            \item $h(x) < g(x)$
            \item $h(x) \geq 0$
        \end{enumerate}
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
        \begin{tikzpicture}[xscale=1.5, yscale=0.8]
            \tkzInit[xmin=-3,xmax=3,xstep=1,
            ymin=-3,ymax=4,ystep=1]
            \tkzGrid
            \tkzAxeXY
            \tkzFct[domain = -3:3,color=red,very thick]{-2*x**2 + 3};
            \tkzText(1.8, -2.2){$\mathcal{C}_f$};

            \tkzFct[domain = -3:3,color=green,very thick]{-0.5*x+1};
            \tkzText(-2.5, 1.8){$\mathcal{C}_g$};

            \tkzFct[domain = -3:3,color=blue,very thick]{1/x};
            \tkzText(-2.5, -1.5){$\mathcal{C}_h$};
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}
\end{exercise}