\begin{exercise}[subtitle={Cas de Covid en mars 2019}, step={1}, origin={Création}, topics={Modélisation suite}, tags={Suite, Modélisation}, mode={\searchMode}]
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
Ci-contre, un tableau reportant le nombre de cas cumulé de Covid autour du début du mois de mars 2020.
\begin{enumerate}
\item Représenter les données du tableau avec un nuage de points (jour en abcisse et nombre de cas en ordonnée).
\item À partir des données du tableau, faire une estimation du nombre de cas pour le 2 mars puis pour le 10mars.
\item (\computerMode) Au 16mars, on dénombrait 6633 cas. Que pensez-vous de votre modèle ?
\item (\computerMode) Proposer un autre modèle qui pourrait se montrer plus précis.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{tabular}{|l|c|}\hline%
\bfseries Jour &\bfseries Nombre de cas
\csvreader[head to column names]{./covid_0226_0301.csv}{}%
{\\\jours&\cas}%
\\\hline
\end{tabular}
\smallskip
\textbf{Document:} Nombre de cas cumulé de covid
\end{minipage}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Modèle de propagation de l'épidémie, R0}, step={1}, origin={Création}, topics={Modélisation suite}, tags={Suite, Modélisation}, mode={\searchMode\computerMode}]
Pour suivre une épidémie, un paramètre important est $R0$. Ce nombre décrit le nombre de personnes que l'on risque d'infecter si l'on est malade avant d'être soigné.
\begin{enumerate}
\item Supposons que $R0$ soit égal à 2. C'est-à-dire que chaque personne malade risque de transmettre le virus à 2 autres personnes en une journée avant d'être soignée.
\begin{enumerate}
\item Supposons qu'au premier jour, il y ait 10 personnes malades. Combien seront malade le deuxième jour? Le 3e? et le 10e?
\item Représenter avec nuage de points le nombre de malades du premier jour au 10e jour.
\item Modéliser la situation par une suite. Préciser la nature et les paramètres.
\item (\computerMode) Trouver une formule pour calculer le nombre de malades au 100e jour.
\item (\computerMode) En combien de jours, l'épidémie aura touché plus de 1000 personnes ?
\end{enumerate}
\item On suppose maintenant que $R0=1,2$ et qu'il y a 20 malades au premier jour.
\begin{enumerate}
\item Combien de malade aura-t-on au 2e, 3e et 10e jour?
\item Modéliser la situation par une suite et préciser les paramètres.
\item (\computerMode) Combien de personnes seront malades après 1 mois (31jours) ?
\end{enumerate}
\item Finalement, on suppose que $R0=0.8$ et qu'il y a 100 malades.
\begin{enumerate}
\item Combien de malade aura-t-on au 2e, 3e et 10e jour?
\item Modéliser la situation par une suite et préciser les paramètres.
\item Représenter avec nuage de points le nombre de malades du premier jour au 10e jour.
\end{enumerate}
\item À quelle condition sur $R0$ la suite est croissante? Décroissante?
Une voiture neuve vaut \np{12000}\euro. On estime que chaque année, sa valeur diminue de 400\euro
\begin{enumerate}
\item Modéliser le prix de la voiture par une suite. Quelle est la nature de la suite. Quels sont les paramètres ?
\item Sur le tableur, créer un tableau avec en première colonne l'age de la voiture (on commence à compter par 0 la première année) et en deuxième colonne la valeur de la voiture.
\item Quelle formule tableur permet de calculer le prix de la voiture après un an puis d'être étirée pour calculer la valeur pour les autres années ?
\item En combien d'année la voiture n'aura plus de valeur ?
\item Tracer le nuage de point correspondant aux valeurs de la suite. Comment sont organisés les points ?
On a reporté le nombre de visiteur moyen journalier dans le tableau suivant:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|*{4}{c|}}
\hline
Année & 2016 & 2017 & 2018 & 2019 \\
\hline
Nombre de visiteurs &\np{3532}&\np{3716}&\np{3909}&\np{4113}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer le taux d'évolution en pourcentage du nombre de visites entre 2016 et 2017 (arrondi au dixième).
\item Calculer le taux d'évolution annuel entre les années suivantes. Que constatez vous?
\end{enumerate}
\item On souhaite faire une prévision du nombre de visiteurs sur les années suivantes.
\begin{enumerate}
\item On suppose que le taux d'évolution reste le même les années suivantes. Proposer une suite pour modéliser le nombre de visiteurs. Quelle est sa nature? Ses paramètres?
\item Quelle est la relation de récurrence de cette suite?
\item Calculer le nombre de visiteurs pour l'année 2020.
\end{enumerate}
\item Pour la suite, vous utiliserez le tableur.
\begin{enumerate}
\item Préparer un tableur avec en première colonne les années après 2019 et en deuxième colonne le nombre de visiteurs.
\item Quelle formule tableur doit-on rentrer pour calculer le nombre de visiteurs en 2020 puis étirée pour les années suivantes?
\item Combien d'années faut-il attendre pour atteindre le million de visites à ce rythme ?
\item Tracer le nuage de point correspondant à ces valeurs. Quelle forme a-t-il ?
On considère la suite u de premier terme $u(0)=200$ et telle que pour tout entier positif n :
\[
u(n+1) = u(n) + 20
\]
\begin{enumerate}
\item Calculer u(1).
\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature de la suite u? Argumenter la réponse.
\item Quel est le sens de variation de la suite u? Justifier la réponse.
\end{enumerate}
\item Sur la figure fournie en annexe à rendre avec la copie, les termes $u(0)$ et $u(1)$ de la suite sont représentés. Compléter la figure, en y représentant le terme $u(2)$ de la suite.
\item Parmi les situations suivantes, laquelle pourrait-être modélisée grâce à la suite u? Justifier la réponse.
\begin{itemize}
\item Situation A : une entreprise a vendu 200 unités d’un nouveau produit la première année. Chaque année elle en vend 10 \% de plus que l’année précédente.
\item Situation B : une entreprise a vendu 200 unités d’un nouveau produit la première année. Chaque année elle en vend 20 \% de plus que l’année précédente.
\item Situation C : une entreprise a vendu 200 unités d’un nouveau produit la première année. Chaque année elle en vend 20 de plus que l’année précédente.
Depuis l’an 2000, l’Union Européenne cherche à diminuer les émissions de polluants (hydrocarbures et oxydes d’azote) sur les moteurs diesel des véhicules roulants. En 2015, la norme tolérée était fixée à 130 milligrammes par kilomètre en conduite normalisée. L’objectif de l’Union Européenne est d’atteindre une émission de polluants inférieure à 60 milligramme par kilomètre. La norme est réactualisée chaque année à la baisse et depuis 2015, sa baisse est de 5,1\% par an
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Justifier que la norme tolérée était d’environ 123 milligrammes par kilomètre en 2016.
\item Un véhicule émettait 120 milligrammes par kilomètre en 2017. Indiquer, en justifiant, s’il respectait ou non la norme tolérée cette année-là.
\end{enumerate}
\item Dans le cadre d’une recherche, Louise veut déterminer à partir de quelle année l’Union Européenne atteindra son objectif. Louise a amorcé l’algorithme ci-dessous programmé sous Python :
\item Deux lignes de l’algorithme comportent des cases vides. Recopier ces lignes et les compléter afin de permettre à Louise de déterminer l’année recherchée.
\end{enumerate}
\item Grâce à son algorithme, Louise a conclu qu’à partir de 2030 l’objectif de l’Union Européenne serait atteint. Vérifier à l’aide d’un calcul qu’elle a raison
Une entreprise de maintenance d’ascenseurs estime que le nombre d’interventions effectuées chaque année augmente régulièrement de 4\%. En 2019, ses 20 salariés ont effectué 1 200 interventions.
\begin{enumerate}
\item Combien peut-on prévoir d’interventions en 2020 ? En 2021 ?
\item Pour tout entier naturel n, on note un le nombre annuel d’interventions effectuées par la société durant l’année 2019+n. On a donc u0 = 1200.
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel n, montrer que un+1 = 1,04un et en déduire la nature de la suite (un).
\item Pour tout entier naturel n, exprimer un en fonction de n.
\end{enumerate}
\item L’entreprise estime que, lorsque le cap des 1 400 interventions annuelles sera dépassé, elle devra embaucher une personne supplémentaire. En quelle année l’entreprise devra- t-elle embaucher ce nouveau salarié ?
L’entreprise décide d’embaucher un nouveau salarié à chaque palier de 200 interventions annuelles supplémentaires.
