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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\usepackage{minted}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Recheche par dicotomie et complexité - Cours}
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\date{Mars 2023}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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\section{Complexité}
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\begin{definition}[Ordre de complexité]
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On dit qu'un algorithme est d'une \textbf{compléxité de l'ordre de $f(n)$} si il existe une constante positive K telle que, quelle que soit la taille n de l'entrée, le nombre d'opérations élémentaires est plus petit que $K \times f(n)$.
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On dit alors que l'algorithme est en $\mathcal{O}(f(n))$.
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\end{definition}
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\section{Etude de la complexité}
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\begin{enumerate}
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\item Recherche du maximum d'une liste
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\begin{multicols}{2}
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\inputminted[bgcolor=base3]{python}{./algos/1B_max.py}
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Calcul de la compléxité
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\end{multicols}
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\item Moyenne
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\begin{multicols}{2}
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\inputminted[bgcolor=base3]{python}{./algos/1B_max.py}
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Calcul de la compléxité
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\end{multicols}
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\item Table de multiplication
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\begin{multicols}{2}
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\inputminted[bgcolor=base3]{python}{./algos/1B_table.py}
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Calcul de la compléxité
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\end{multicols}
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\item Recherche par dichotomie
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\begin{multicols}{2}
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\inputminted[bgcolor=base3]{python}{./algos/1B_dicho.py}
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Calcul de la compléxité
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\end{multicols}
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\end{enumerate}
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\section{Les complexités courantes}
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Dans la pratique, on ne choisira que des fonctions $f(n)$ simples prise dans la liste suivante (classé par ordre croissant de rapidité):
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\begin{itemize}
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\item $\mathcal{O}(1)$: complexité constante. Le temps d'exécution est indépendant de $n$ (la taille de l'entrée).
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\textbf{Exemples}:
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\item $\mathcal{O}(log(n))$: complexité logarithmique. Le temps d'exécution augmente d'une quantité constante quand la taille de l'entrée ($n$) est doublée.
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\textbf{Exemple}:
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\item $\mathcal{O}(nlog(n))$: complexité linéaire. Le temps d'exécution est proportionnel à la taille de l'entrée ($n$)
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\textbf{Exemples}:
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\item $\mathcal{O}(n^2)$: complexité quadratique. Le temps d'exécution est multiplié par 4 quand la taille de l'entrée est multipliée par 2.
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\textbf{Exemples}:
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\item $\mathcal{O}(n^k)$: complexité polynomiale. Le temps d'exécution est majoré par un polynôme de la taille d'entrée.
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\textbf{Exemples}:
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\item $\mathcal{O}(k^n)$: complexité exponentielle. Le temps d'exécution croit trop rapidement pour que la taille d'entrée puisse être grand.
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\textbf{Exemples}:
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\end{itemize}
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\paragraph{Temps d'exécution en fonction de la taille d'entrée}~
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.9]{./fig/complexite}
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\end{center}
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\end{document}
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